Az a\geq b feltétel a 12.13. Definíció alapján azt jelenti, hogy létezik olyan n természetes szám, amelyre teljesül, hogy a=b+n. A Peano-összeadás 11.4. Definíciójának 1. pontja miatt ez egyenértékű ezzel: a+0=b+n. Ez viszont a 13.2. Tétel miatt épp azt jelenti, hogy (a;b)\sim (n;0).

Ezzel bizonyítottuk a tételben szereplő n létezését. Tegyük most fel, hogy ez nem egyértelmű, azaz létezik egy másik n' természetes szám is, amelyre (a;b)\sim (n';0), de n\neq n'. A 13.2. Tétel miatt ez azt jelenti, hogy a+0=b+n'. Összevetve ezt az a=b+n egyenlettel azt kapnánk, hogy b+n=b+n'. Ezt az egyenletet viszont a 12.16. Lemma alapján b-vel egyszerűsíthetjük, így n=n' adódik, ami ellentmondás. A tételben szereplő n tehát mégis egyértelmű.

Az m-re vonatkozó állítás pontosan ugyanezen a módon igazolható, csak ekkor az a és b számok szerepét fel kell cserélni.

Végül ha a=b, akkor (a;\underbrace{a}_{=b})\sim (0;0) valóban teljesül, hiszen nyilván a+0=\underbrace{a}_{=b}+0. Másrészt, ha (a;b)\sim (0;0), akkor a 13.2. Tétel miatt a+0=b+0, azaz a Peano-összeadás 11.4. Definíciójának 1. pontja miatt a=b.