A 18.22. Tétel alapján a maradékosztályok közötti \oplus és \odot műveletek jóldefiniáltak, azaz az eredményként kapott maradékosztály nem függ az a és b reprezentánselemek megválasztásától. Így R/I-re elegendő a 14.12. Definíció szerinti gyűrűaxiómákat ellenőrizni.

Az asszociativitási és disztributivitási tulajdonságok, valamint a \oplus művelet kommutativitása: Azt kell megmutatni, hogy tetszőleges A=a+I, B=b+I és C=c+I maradékosztályok esetén teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned}A\oplus B&=B\oplus A \\ (A\oplus B)\oplus C&=A\oplus (B\oplus C) \\ (A\odot B)\odot C&=A\odot (B\odot C)\\A\odot (B\oplus C)&=(A\odot B)\oplus (A\odot C) \\ (A\oplus B)\odot C &= (A\odot C)\oplus (B\odot C)\end{aligned}

A műveletek tételben szereplő definíciói alapján ezek így írhatók fel az a, b és c reprezentánselemek segítségével:

\begin{aligned}(a+b)+I &= (b+a)+I \\ ((a+b)+c)+I&=(a+(b+c))+I \\ ((a\cdot b)\cdot c)+I&=(a\cdot (b\cdot c))+I \\ (a\cdot (b+c))+I&=(ab+ac)+I \\ ((a+b)\cdot c)+I &= (ac+bc)+I\end{aligned}

A reprezentánselemek között viszont teljesülnek ezek a tulajdonságok, hiszen ők az R gyűrű elemei.

Nullelem létezése: Az R/I gyűrűben kell egy olyan N maradékosztályt mutatni, amelyre tetszőleges A=a+I maradékosztály esetén teljesül az alábbi:

A\oplus N=N\oplus A=A

Mivel az \oplus műveletről már láttuk, hogy kommutatív, így elegendő csak az egyik irányú összeadást figyelembe venni. Ha az R gyűrű nulleleme 0_R, akkor az N=0_R+I maradékosztály épp megfelelő lesz nullelemnek az R/I gyűrűben, hiszen:

(\underbrace{a+I}_{=A})\oplus (\underbrace{0_R+I}_{=N})=(a+0_R)+I=a+I=A

Ellentett elem létezése: Itt azt kell megmutatni, hogy amennyiben N az R/I faktorgyűrű nulleleme, úgy tetszőleges A=a+I elemhez létezik olyan \ominus A-val jelölt elem, amelyre teljesül az alábbi:

A\oplus (\ominus A)=(\ominus A)\oplus A=N

Mivel az \oplus műveletről már láttuk, hogy kommutatív, így elegendő csak az egyik irányú összeadást figyelembe venni. A \ominus A=(-a)+I maradékosztály épp megfelelő lesz ellentett elemnek az R/I gyűrűben, hiszen:

(\underbrace{a+I}_{=A})\oplus (\underbrace{(-a)+I}_{=\ominus A})=(a-a)+I=0_R+I=N

Az R/I halmaz tehát valóban gyűrűt alkot a tételben szereplő műveletekkel. Tegyük most fel, hogy R egységelemes, és jelöljük 1_R-rel az egységelemet. Feladatunk mutatni az R/I gyűrűben egy olyan E maradékosztályt, amelyre tetszőleges A=a+I maradékosztály esetén teljesül az alábbi:

A\odot E=E\odot A=A

Ha az R gyűrű egységeleme 1_R, akkor az 1_R+I maradékosztály épp megfelelő lesz egységelemnek az R/I gyűrűben, hiszen:

\begin{aligned}(\underbrace{a+I}_{=A})\odot (\underbrace{1_R+I}_{=E})&=(a\cdot 1_R)+I=a+I=A \\(\underbrace{1_R+I}_{=E})\odot (\underbrace{a+I}_{=A})&=(1_R\cdot a)+I=a+I=A\end{aligned}

Most tegyük fel, hogy R kommutatív, és legyen az A=a+I valamint a B=b+I két tetszőleges maradékosztály az R/I gyűrűben. Ekkor R kommutativitása miatt teljesül az alábbi, azaz R/I is valóban kommutatív:

\begin{aligned}A\odot B&=(a+I)\odot (b+I)=(a\cdot b)+I=\\&=(b\cdot a)+I=(b+I)\odot (a+I)=B\odot A\end{aligned}

Végezetül meg kell mutatni, hogy a tételben szereplő f:R\to R/I függvény egy gyűrűhomomorfizmus az eredeti és az R/I faktorgyűrű között. Az f függvény tehát minden R-beli r elemhez az r+I maradékosztályt rendeli hozzá. Tegyük fel, hogy r és s az R gyűrű tetszőleges elemei. Ekkor a művelettartó tulajdonságok az alábbiak alapján valóban teljesülnek:

\begin{aligned}f(r)\oplus f(s)&=(r+I)\oplus (s+I)=(r+s)+I=f(r+s) \\ f(r)\odot f(s)&=(r+I)\odot (s+I)=(r\cdot s)+I=f(r\cdot s) \end{aligned}

Végül azt kell megmutatni, hogy f magja épp az I ideál. Egy tetszőleges R-beli s elemhez az f gyűrűhomomorfizmus pontosan akkor rendeli hozzá az R/I gyűrű nullelemét, azaz a 0_R+I maradékosztályt, ha f(s)=s+I=0_R+I. Minthogy I egy részgyűrű R-ben (hiszen ideál), ezért a 18.15. Tétel 3. pontja alapján ő az, aki tartalmazza 0_R-t, azaz 0_R+I=I. Az f(s)=0_R+I tehát akkor és csak akkor teljesül, ha s benne van I-ben. Az I ideál tehát valóban magja az f gyűrűhomomorfizmusnak.