Episode I

Alice és Bob

. rész: Gyűrűk homomorfizmustétele – bizonyítás

Előszöris megjegyezzük, hogy a 18.17. Tétel alapján \ker f ideál R-ben, így a baloldalon álló R/\ker f faktorgyűrű valóban értelmes. Igaz továbbá, hogy a 18.16. Tétel alapján \text{im} f részgyűrű abban a gyűrűben, ahová f mutat, így a tételben szereplő gyűrűizomorfia jobboldala is értelmes. Most megmutatjuk, hogy az izomorfia valóban teljesül.

Az R/\ker f faktorgyűrű elemei a \ker f, mint ideál szerinti maradékosztályok. Ezek a 18.12. Definíció utáni megjegyzés alapján pontosan ugyanazok a maradékosztályok lesznek, mint a 18.9. Definíció által definiált f gyűrűhomomorfizmus szerinti maradékosztályok.

Most definiálunk egy g:R/\ker f\to \text{im} f leképezést e faktorgyűrű és az f gyűrűhomomorfizmus képe között. Ennek a leképezésnek a képletét az R gyűrű elemeinek és az f gyűrűhomomomorfizmusnak a segítségével adjuk meg. Az alábbi képlet azt fejezi ki, hogy minden r elem esetén a g leképezés az r-et tartalmazó MARADÉKOSZTÁLYhoz épp azt az elemet rendeli hozzá a célgyűrűből, amelyet az f gyűrűhomomorfizmus is hozzárendel magához az r ELEMhez:

g(r+\ker f)=f(r)

Az alábbi ábra mutatja a g leképezés iménti konstrukcióját.

A faktorgyűrű elemeinek leképezése
A faktorgyűrű elemeinek leképezése

Ez egy értelmes leképezés, ha ugyanis valamely r_1 és r_2 elemek ugyanabban a maradékosztályban vannak, akkor az ő különbségük benne van f magjában, ami épp azt jelenti, hogy az f szerinti képük megegyezik. Így tehát a g leképezés eredménye nem függ attól, hogy a bemeneti maradékosztály mely reprezentánselemének segítségével számítottuk azt ki a fenti képlettel.

Most igazoljuk, hogy a g leképezés kölcsönösen egyértelmű. Előszöris azt mutatjuk meg, hogy két különböző maradékosztály g szerinti képe is különbözik. Tegyük fel ezért indirekt, hogy az R gyűrű r és s elemei két különböző maradékosztályban vannak, ám e két maradékosztálynak ennek ellenére ugyanaz a g szerinti képe, azaz g(r+\ker f)=g(s+\ker f). Ez a g leképezés definíciója alapján azt jelentené, hogy f(r)=f(s). De ez ellentmondás, hiszen ez azt jelentené, hogy r és s mégis ugyanabban a maradékosztályban van. Azt tehát már tudjuk, hogy az \text{im} f célgyűrű minden eleme legfeljebb egy maradékosztálynak lehet a g szerinti képe, azaz g injektív.

A kölcsönös egyértelműséghez azt kell még igazolni, hogy a célgyűrűben nincs olyan elem, amely ne lenne képe valamely maradékosztálynak a g függvény szerint (azaz, hogy g szürjektív). Ez viszont természetesen teljesül, hiszen a célgyűrű nem más, mint \text{im} f, azaz az f gyűrűhomomorfizmus képe. Következésképp minden itt lévő s elemhez létezik olyan x elem az R gyűrűben, amelynek épp s a képe az f függvény szerint (azaz f(x)=s). Ez az x elem viszont benne van az x+\ker f maradékosztályban, amelyhez viszont a g függvény rendeli hozzá az s elemet a célgyűrűben. A g függvény tehát valóban kölcsönösen egyértelmű.

A g művelettartási tulajdonságai a fenti képletből már könnyen adódnak:

\begin{aligned}g((r+\ker f)\oplus (s+\ker f))&=g((r+s)+\ker f)=\\&=f(r+s)=f(r)+f(s)=\\&=g(r+\ker f)+g(s+\ker f) \\ g((r+\ker f)\odot (s+\ker f))&=g((r\cdot s)+\ker f)=\\&=f(r\cdot s)=f(r)\cdot f(s)=\\&=g(r+\ker f)\cdot g(s+\ker f)\end{aligned}

Így tehát g valóban gyűrűizomorfizmus az R/\ker f faktorgyűrű és f képe között.

Kapcsolódó oldal:
Érintő - Elektronikus Matematikai Lapok