Képezzük e két maradékosztály szorzatát, azaz az [a]_n \odot [b]_n maradékosztályt. A \odot művelet 20.5. Tételben ismertetett definíciója alapján ez épp az [ab]_n maradékosztály lesz. Először azt kell bizonyítanunk, hogy ez a maradékosztály Fermat-tanú. Ez a 23.3. Definíció alapján az alábbit jelenti:

(ab)^{n-1} \ \cancel{\equiv} \ 1 \pmod n

Az (ab)^{n-1} kifejezés a hatványozás azonosságairól szóló 18.8. Tétel 1. pontja alapján így is írható: a^{n-1}b^{n-1}. Mivel b\neq 0 és [b]_n nem Fermat-tanú, ezért a 23.3. Definíció alapján teljesül az alábbi kongruencia:

b^{n-1}\equiv 1\pmod n

Következésképp a 20.2. Tétel 5. pontja miatt teljesül az alábbi kongruencia is:

\underbrace{a^{n-1}b^{n-1}}_{=(ab)^{n-1}} \equiv a^{n-1} \pmod n

Mivel [a]_n Fermat-tanú, ezért ugyancsak a 23.3. Definíció alapján a jobboldali kifejezés biztosan nem kongruens 1-gyel modulo n. Így hát a baloldali kifejezés sem, azaz:

(ab)^n \ \cancel{\equiv} \ 1\pmod n

Ez tehát azt jelenti, hogy az [ab]_n=[a]_n\odot [b]_n maradékosztály valóban egy Fermat-tanú.

Most azt igazoljuk, hogy [ab]_n egy redukált maradékosztály. Mivel az [a]_n egy redukált maradékosztály, ezért a egy redukált maradékrendszer egyik eleme. Továbbá, mivel [b]_n szintén egy redukált maradékosztály, ezért b relatív prím n-hez. Így tehát az ab szorzat a 20.18. Tétel miatt szintén egy redukált maradékrendszer egyik eleme lesz. Ebből következően az [ab]_n maradékosztály egy redukált maradékosztály.