Az előző részben kitöröltünk mindent a fejünkből, amit az általános iskolában a számokról tanultunk, és elkezdtük felépíteni a modern kriptográfiai eljárások alapját jelentő számelméletet a semmiből. Mindössze 4 egyszerű állításból indultunk ki, amelyeket Peano-axiómáknak nevezünk, és amelyek rögzítik a pozitív egész számok és a 0 alapvető tulajdonságait. Ezek halmazát természetes számoknak nevezzük és \N-nel jelöljük. Szigorúan az axiómákat használva bevezettünk az \N halmazon egy összeadásnak nevezett műveletet, amelyről megmutattuk, hogy – az axiómák logikai következményeként – valóban teljesíti az általános iskolában jól megszokott tulajdonságokat. De vajon mi minden következik még ebből a 4 axiómából? Milyen alaptulajdonságai vannak a szorzás műveletének és mi az oka, hogy ezek valóban teljesülnek? Mik azok a relációk és hogy jön ide a „kő-papír-olló” nevű játék? Mit nevezünk rendezett halmaznak és hogyan vezethetjük be a „kisebb-nagyobb” fogalmát a természetes számok között? Ebben a részben erről lesz szó…

Figyelem! Ez a rész erőteljesen épít az előző részben bevezetett alábbi definíciókra és tételekre, amelyekkel elkezdtük a számelmélet felépítését:

E definíciók és tételek kontextusba helyezése miatt erőteljesen ajánlott tehát elolvasni az előző részt. A teljes cikksorozat elejét itt találod.

A matematika igazi természete kezdett el kibontakozni az előző részben. Nevezetesen: kiindulunk néhány egyszerű állításból, amelyeket igaznak fogadunk el – ez jelen példánkban a Peano-axiómarendszer 4 állítása. Nem azért fogadjuk el őket igaznak, mert valamiféle abszolút igazságokat állítanak – olyan talán nem is létezik, ha belegondolunk –, hanem azért, mert ezek rögzítik a felépítendő elmélet „játékszabályait”, akárcsak a sakkban. A fogalmainkat szigorúan az axiómákból építjük fel, és csak olyan további állításokat fogadunk el igaznak, amelyeket szigorú logikai érveléssel az axiómákra, az azok segítségével felépített fogalmakra, vagy korábban már bizonyított állításokra tudunk visszavezetni.

Ennek a tudománynak épp ez adja az erősségét is. Minden más természettudomány alapja ugyanis a kísérletezés. Akárhány kísérletet is végzünk, soha nem lehetünk teljesen biztosak egy tudományos elmélet igazságában, arra csupán megerősítést kapunk. Ha azonban akárcsak egyetlen kísérlet is megcáfolja az elméletünket, azt azonnal dobhatjuk ki a kukába. Ezzel szemben egy matematikai állítás igazsága örök érvényű. Egy bizonyított állítás igaz marad, ameddig világ a világ, arra nyugodtan lehet tovább építkezni, és nincs szükség arra, hogy azt kísérletekkel megerősítsük. Az előző részben például a Peano-axiómák segítségével bevezettük az összeadás fogalmát, és bizonyítottuk annak kommutativitását és asszociativitását. A továbbiakban tehát nyugodtan építkezhetünk ezekre a tulajdonságokra.

Építkezzünk hát tovább, és kényelmi okok miatt vezessünk be egy újabb műveletet az \N halmazon.

A természetes számok szorzása

Képzeljük el azt a szituációt, amikor egy számot önmagával sokszor kell összeadni. Jó volna valamilyen módon rövidíteni az olyan jellegű kifejezéseket, mint például ez: a+a+a+a+a. Itt az a számot 5-ször adtuk össze önmagával, ami – valljuk be – eléggé kényelmetlen. Ezt elkerülendő, most bevezetünk egy „szorzásnak” nevezett műveletet, amelyet \cdot-tal fogunk jelölni. A fenti kifejezést például így rövidíthetjük: a \cdot 5.

A szorzás műveletével kapcsolatban azonnal rögzíthetünk két megállapodást. Először is állapodjunk meg abban, hogy mi legyen az eredmény akkor, ha valamit 0-val szorzunk meg. Ezt ugye a fenti értelmezés alapján egy 0 tagú összegként foghatjuk fel. Természetes tehát, ha rögzítjük, hogy tetszőleges a esetén a \cdot 0 eredménye 0 legyen. A másik megállapodásunk pedig legyen az, hogy ha egy a számot egy b szám rákövetkezőjével szorozzuk meg, akkor az ennek megfelelő összegben éppen 1-gyel többször szerepeljen a, mintha csak b-vel szoroztunk volna.

Ennek megfelelően az alábbi definícióval vezetjük be a szorzás műveletét:

Ez alapján kiszámítható bármely két természetes szám szorzata. Amennyiben például \N elemeit a szokásos módon, 10-es számrendszerben jelöljük, akkor a 2 \cdot 3 szorzat az alábbi lépésekben fejthető ki szigorúan a fenti definíció szerint:

\begin{aligned}2 \cdot 0&=0 \\ 2 \cdot 1&=2 \cdot s(0)=(2 \cdot 0) + 2 = 0 + 2 = 2 \\ 2 \cdot 2&=2 \cdot s(1) = (2 \cdot 1) + 2=2+2=4 \\ 2 \cdot 3&=2 \cdot s(2)=(2 \cdot 2) + 2=4 + 2=6 \end{aligned}

Értelmeztünk tehát egy műveletet az \N halmazon, amelyet önkényesen „szorzásnak” neveztünk, és a \cdot műveleti jellel jelöltünk. Az összeadáshoz hasonlóan vizsgáljuk hát meg, hogy ez valóban teljesíti-e azokat a jól megszokott tulajdonságokat, amelyeket általános iskolai tanulmányaink alapján elvárnánk tőle.

A szorzás kommutativitása

Általános iskolában megtanultuk, hogy az összeadáshoz hasonlóan a szorzás esetén is felcserélhető a két tényező sorrendje. Első jogos kérdés tehát, hogy vajon a 12.1. Definícióban ismertetett „szorzásnak” nevezett művelet teljesíti-e ezt a kritériumot?

Ennek megmutatásához két segédtételre lesz szükségünk. Az első segédtétel azt mondja ki, hogy a definíció 1. pontjában szereplő esetben a tényezők felcserélhetők – azaz, hogy az a \cdot 0-hoz hasonlóan a 0 \cdot a eredménye is 0 lesz:

Ez ugyan magától értetődőnek tűnik, de ismételten felhívjuk a figyelmet arra, hogy mindenben kételkednünk kell, amit nem vezettünk vissza az axiómákra, az azokból alkotott definíciókra vagy korábban már bizonyított állításokra. Márpedig a \cdot-tal jelölt Peano-szorzás jelenleg nem több pusztán egy általunk kreált definíciónál. A bizonyításhoz az előző részben már jól bejáratott teljes indukciót alkalmazzuk, amelynek használatát a 4. Peano-axióma teszi lehetővé:

A kommutativitáshoz szükséges második segédtétel lényegében azt mondja ki, hogy mi történik a Peano-szorzás definíciójának (12.1. Definíció) 2. pontjában szereplő képlettel, ha felcseréljük a tényezőket:

Ezután bizonyítjuk a szorzás kommutativitását:

Látható tehát, hogy a 12.1. Definícióban értelmezett „szorzásnak” nevezett művelet valóban kommutatív, ahogy azt az általános iskolában már megszokhattuk tőle.

Most nézzünk meg egy rendkívül fontos kapcsolatot az előző részben definiált „összeadás” és a mostani részben definiált „szorzás” nevű műveletek között. Ez a tulajdonság szintén jól ismert az általános iskolából, most viszont vizsgáljuk meg, hogy tulajdonképpen miért is van ez így.

Az összeadás és a szorzás kapcsolata

Biztosan sokan emlékeznek még általános iskolából az úgynevezett „zárójelfelbontási szabályra”. Tegyük fel, hogy van két darab kétváltozós műveletünk egy valamilyen H halmazon. Jelöljük az egyik műveletet \circ-rel, a másikat pedig \bullet-tal. Szándékosan választottam két semleges szimbólumot annak érdekében, hogy nehogy véletlenül bárki bármilyen konkrét műveletre asszociáljon. Tegyük fel, hogy a következő kifejezést kell kiértékelnünk a H halmaz a, b és c elemeire:

a\bullet (b \circ c)

Ennek a kifejezésnek a kiértékelését mutatja az alábbi ábra:

Elképzelhető, hogy a \circ és a \bullet művelet olyan, hogy a fenti kifejezés átalakítható erre:

(a\bullet b)\circ (a\bullet c)

Ennek a kifejezésnek a kiértékelését mutatja az alábbi ábra:

Látható, hogy a két fenti kifejezés kiértékelése teljesen máshogyan történik. Első esetben először a \circ műveletet kell elvégezni b-re és c-re, majd ennek az eredményét kell össze-\bullet-ozni a-val balról. Második esetben viszont először össze-\bullet-ozzuk b-t és c-t a-val balról, majd az így kapott két eredményt \circ-özzük össze.

Amennyiben a \circ és \bullet műveletek olyanok, hogy tetszőleges a-ra, b-re és c-re a két fenti kifejezés végeredménye mindig megegyezik egymással, azaz

a\bullet (b \circ c) = (a\bullet b) \circ (a\bullet c)

teljesül, akkor azt mondjuk, hogy a \bullet művelet baldisztributív a \circ műveletre nézve. Amennyiben

(b \circ c)\bullet a = (b\bullet a) \circ (c\bullet a)

teljesül, akkor azt mondjuk, hogy a \bullet művelet jobbdisztributív a \circ műveletre nézve. Amennyiben mindkét azonosság egyszerre teljesül, akkor egyszerűen azt mondjuk, hogy a \bullet művelet disztributív a \circ műveletre nézve.

Ha például a \bullet művelet kommutatív, akkor automatikusan mindkét oldali disztributivitás teljesül. Az állítás megfordítása azonban nem feltétlenül igaz, azaz a kétoldali disztributivitásból nem következik a \bullet művelet kommutativitása.

Ezen kívül a disztributivitási kapcsolat két művelet között általában nem szimmetrikus. Például ha a \bullet művelet disztributív a \circ műveletre nézve, abból még nem következik, hogy a \circ művelet is disztributív a \bullet műveletre nézve. Elképzelhetőek azonban olyan algebrai struktúrák, amelyekben még ez a szimmetria is teljesül. Például a halmazműveletek közül a metszetképzés (\cap) és az unió (\cup) műveletei kölcsönösen disztributívak egymásra nézve:

\begin{aligned}A\cap (B\cup C) &= (A\cap B)\cup (A\cap C) \\ A\cup (B\cap C) &= (A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}

Most nézzük meg, hogy disztributivitási szempontból mit tudunk elmondani a 11.4. Definíció szerinti „összeadásnak” és a 12.1. Definíció szerinti „szorzásnak” nevezett műveletekről.

Mostantól tehát nyugodtan alkalmazhatjuk az általános iskolából már jól ismert zárójelfelbontási szabályt, mivel a Peano-axiómák segítségével értelmezett két műveletünk teljesíti ezt a követelményt is.

A Peano-szorzás asszociativitása

Most vizsgáljuk meg, hogy az összeadáshoz hasonlóan vajon a szorzás is asszociatív-e.

Ezzel megmutattuk, hogy a Peano-axiómák segítségével bevezetett mindkét műveletünk az elvárt módon viselkedik. A fejezet további részében az \N halmazban fogunk egy kicsit rendetrakni. Ez szükséges lesz ugyanis ahhoz az absztrakcióhoz, amelyet a sorozat következő részében fogunk majd meglépni, és amelynek a segítségével nemcsak összeadni és szorozni, hanem kivonni is fogunk tudni.

Kő-papír-olló

A Peano-axiómákkal definiált \N halmaz jelenleg nem több csupán egy „zsáknál”, amelyben ott csücsül a végtelen sok természetes szám. E számkör kibővítéséhez azonban szükségünk lesz egy olyan fogalomra, amelynek a segítségével ezeket az objektumokat valamilyen módon sorba tudjuk állítani. Szeretnénk olyan kijelentéseket tenni, miszerint egy a szám „előrébb van” ebben a képzeletbeli sorban, mint egy b szám.

A kétváltozós műveletekhez (11.3. Definíció) hasonlóan szükségünk lesz tehát egy olyan képzeletbeli dobozra, amelybe ha felül bedobunk két tetszőleges számot az \N halmazból, akkor alul kipottyan egy igen vagy egy nem válasz egy adott eldöntendő kérdésre. Például arra a kérdésre, hogy a „előrébb van-e” a természetes számok halmazában, mint b? Ez nagyon hasonló azokhoz a Turing-gépekhez, amelyeket a 6. részben formális nyelvek felismeréséhez használtunk. Jelen esetben azonban a bemenet nem egy szimbólumsorozat, hanem két természetes szám, a kimenet pedig egy igen vagy egy nem válasz lesz. Ezt szemlélteti az alábbi ábra:

Az olyan kétbemenetű dobozokat, amelyek választ adnak valamilyen eldöntendő kérdésre a két felül bedobott szám közötti kapcsolatról, kétváltozós relációknak nevezzük. A fenti ábrán látható doboz például egy kétváltozós relációt reprezentál, amely relációt önkényesen R-rel jelöltünk, de választhattunk volna bármilyen más szimbólumot is. Most nézzük meg, hogyan tudjuk általánosságban megfogalmazni, hogy matematikailag tulajdonképpen mit is nevezünk relációnak.

Ennek megértéséhez fontos először tisztázni a „rendezett pár” fogalmát. Emlékezzünk vissza, hogy egy kétváltozós műveletet egy olyan függvényként definiáltuk (11.3. Definíció), amely az adott művelet alaphalmazából származó elemekből alkotott összes létező ún. rendezett párhoz hozzárendel egy-egy elemet szintén ebből az alaphalmazból. Vegyük például a már jól ismert \N halmazt, és válasszunk ki belőle két tetszőleges elemet, mondjuk 1-et és 2-t. Ebből a két elemből kétféleképpen tudunk egy rendezett párt alkotni, mivel nem mindegy, hogy melyik hol foglal helyet ebben a párban (ezért hívjuk rendezett párnak). Az egyik ilyen párt (1; 2)-vel, a másikat pedig (2; 1)-gyel jelöljük. Az (1; 2) és a (2; 1) rendezett párok tehát különbözőek, mivel nem azonos a bennük szereplő elemek sorrendje.

Egy tetszőleges H halmaz elemeiből alkotott összes létező rendezett pár szintén egy halmazt alkot. Ezt a halmazt H\times H-val jelöljük (kimondva: H „kereszt” H). Tegyük fel például, hogy a H halmaz a \text{kő}, a \text{papír} és az \text{olló} szavakat tartalmazza. Ekkor a H\times H halmaz az alábbi 9 rendezett párt fogja tartalmazni: (\text{kő}; \text{kő}), (\text{kő}; \text{papír}), (\text{kő}; \text{olló}), (\text{papír}; \text{kő}), (\text{papír}; \text{papír}), (\text{papír}; \text{olló}), (\text{olló}; \text{kő}), (\text{olló}; \text{papír}), és (\text{olló}; \text{olló}).

Ezek után a kétváltozós reláció fogalmát így definiáljuk:

Az előző példánál maradva definiáljunk egy relációt a \text{kő}, a \text{papír} és az \text{olló} szavakat tartalmazó H halmazon. Jelöljük például a \succ szimbólummal a H\times H halmaznak azt a részhalmazát, amely csak a (\text{kő}; \text{olló}), (\text{olló}; \text{papír}) és (\text{papír}; \text{kő}) rendezett párokat tartalmazza. A definícióban szereplő jelöléssel például írhatjuk azt, hogy \text{kő} \succ \text{olló}. Ezt szavakkal így mondhatjuk: „\text{kő} üti \text{olló}-t”. Vegyük észre, hogy az imént épp a matematikai leírását adtuk meg a jól ismert kő-papír-olló játék ütési szabályainak.

Amikor egy végtelen halmazon értelmezünk valamilyen relációt, akkor természetesen nem tudjuk megtenni, hogy felsoroljuk az összes olyan párt, amelyek relációban állnak egymással. Ilyen esetekben valamilyen szabályt adunk meg arra vonatkozóan, hogy mikor tekintünk két elemet egymással relációban állónak, és mikor nem. Hamarosan bevezetünk majd egy relációt az \N halmazon, amelynek a segítségével sorba fogjuk tudni rendezni \N elemeit – azaz a természetes számokat. Előbb azonban vizsgáljuk meg, hogy pontosan mit értünk rendezési reláció alatt.

Rendezési relációk

A most következő néhány definíció egy-egy speciális tulajdonságot követel meg egy relációtól. Az első például azt, hogy bármely elem relációban álljon önmagával:

A második definíció azt követeli meg egy relációtól, hogy két különböző elem esetén a közöttük lévő reláció – ha egyáltalán létezik – iránya egyértelmű legyen:

Másként megfogalmazva ha egy antiszimmetrikus reláció mindkét irányban fennáll két elem között, akkor a két elem azonos. Megjegyezzük azonban, hogy visszafelé nem feltétlenül teljesül, hogy a=b esetén bármelyik irányban is fennáll a reláció. Ezt a fentebb definiált reflexivitási tulajdonság hivatott biztosítani.

A harmadik definíció azt követeli meg, hogy az elempárok azon tulajdonsága, miszerint egymással relációban állnak, „láncszerűen” öröklődjön. Például: ha én „magasabb vagyok” az apámnál, apám pedig „magasabb” az anyámnál, akkor én „magasabb vagyok” az anyámnál. Ezt fejezi ki az alábbi definíció:

Végül a negyedik definíció azt követeli meg, hogy két tetszőleges elemet kiválasztva azok mindenképpen legyenek egymással „összehasonlíthatók” az adott reláció segítségével.

Ezek a definíciók tehát mind egy-egy speciális követelményt fogalmaznak meg egy adott relációval kapcsolatban. Például az előző szakaszban a kő-papír-olló játékkal kapcsolatban definiált \succ reláció nyilvánvalóan nem reflexív, hiszen ha a két játékos ugyanazt mutatja – legyen az akár \text{kő}, akár \text{papír}, akár \text{olló} –, az eredmény döntetlen lesz. De nem is tranzitív, hiszen például \text{papír} \succ \text{kő} és \text{kő} \succ \text{olló}, de \text{papír} \nsucc \text{olló}. Végül a trichotómia sem teljesül ugyanazon okok miatt, mint a reflexivitás. Viszont antiszimmetrikus, hiszen ha a két játékos különbözőt mutat, akkor biztosan csak az egyikük fog nyerni.

Most bevezetjük a rendezett halmaz fogalmát, majd a definíció után megmutatjuk az elnevezés jogosságát:

Minket jelenleg csak a teljes rendezések, és ennek megfelelően a rendezett halmazok érdekelnek, részbenrendezett halmazokkal egyelőre nem foglalkozunk. Vizsgáljuk meg tehát, hogy miért nevezhetünk jogosan „rendezésnek” egy olyan relációt, amely teljesíti a fenti definícióban szereplő mind a 4 kritériumot.

Tegyük fel, hogy van egy valamilyen H halmazon értelmezett rendezési reláció, amelyet a \leq szimbólummal jelölünk. Ne társítsunk most semmilyen számokkal kapcsolatos jelentést ehhez a szimbólumhoz, az a\leq b kifejezést egyszerűen csak olvassuk úgy, hogy „a legfeljebb annyiadik elem a sorban, mint b”. Ezek után a 12.12. Definícióban szereplő 4 kritériumot így is olvashatjuk:

1. Reflexivitás: Tetszőleges elem „legfeljebb annyiadik a sorban”, mint önmaga.
2. Antiszimmetria: Ha az a elem „legfeljebb annyiadik a sorban”, mint a b elem, és a b elem is „legfeljebb annyiadik a sorban”, mint az a elem, akkor a két elem megegyezik.
3. Tranzitivitás: Ha az a elem „legfeljebb annyiadik a sorban”, mint a b elem, amely pedig „legfeljebb annyiadik a sorban”, mint a c elem, akkor az a elem „legfeljebb annyiadik a sorban”, mint a c elem.
4. Trichotómia: Bármely két elemről el lehet dönteni, hogy melyikük van „legfeljebb annyiadik helyen a sorban”, mint a másik.

Ha végiggondoljuk, akkor pontosan ez az, amit elvárunk egy olyan relációtól, amelynek a segítségével egy egyértelmű sorrendet szeretnénk felállítani egy halmaz elemei között.

Most nézzük meg, hogyan tudunk egy ilyen tulajdonságokkal rendelkező relációt megadni a természetes számok \N halmazán.

A természetes számok rendezési relációja

A természetes számok \N-nel jelölt halmazán definiáljuk az alábbi relációt:

Látható, hogy ennek az új fogalomnak a bevezetéséhez közvetett módon kizárólag az előző részben ismertetett Peano-axiómákat (11.1. Definíció), közvetlenül pedig az az alapján értelmezett összeadás nevű műveletet (11.4. Definíció) használtuk. Ezt szem előtt tartva tehát egyelőre semmit nem mondhatunk még erről a most bevezetett relációról, kiváltképpen azt nem, hogy ez valóban egy rendezési reláció lenne. Ezt ugyanis először bizonyítani kell.

Nézzük először a \leq reláció reflexivitását:

A tranzitivitás hasonlóan egyszerűen adódik:

Az antiszimmetria (12.9. Definíció) igazolásához először két segédtételre lesz szükségünk. Ezek közül az első egy olyan állítás, amely a későbbiekben is hasznos lesz:

Ne feledjük, hogy csak a már rendelkezésünkre álló fogalmakra és tételekre, valamint az axiómákra hivatkozhatunk. Tekintve, hogy „kivonás” egyelőre nem létezik, más úton kell bizonyítanunk a fenti állítást.

A második segédtétel – amelyre szükségünk lesz az antiszimmetria igazolásához – azt mondja ki, hogy mi az az egyetlen eset, amikor egy összeg eredménye 0 lehet.

Ezt egy új bizonyítási módszerrel igazoljuk, amelyet indirekt bizonyításnak nevezünk. Ilyenkor nem magát az állítást igazoljuk, hanem megmutatjuk, hogy miért nem lehet hamis.

A 12.16. Lemma és a 12.17. Lemma felhasználásával mostmár igazolhatjuk a \leq reláció antiszimmetriáját.

Már csak a trichotómia igazolása van hátra. Ez az alábbi segédállításból fog következni:

Ebből már következik a \leq reláció trichotómiája, ezért most ezt mondjuk ki:

A \leq reláció tehát teljesíti mindazon követelményeket, amelyeket a 12.12. Definíció megkövetel tőle. Ezért mostmár nyugodtan kijelenthetjük, hogy a 12.13. Definícióban jogosan neveztük ezt a relációt rendezésnek, és jogosan nevezhetjük az \N halmazt rendezett halmaznak.

Hol tartunk most?

Ezen a ponton álljunk meg egy pillanatra, és szedjük össze, hogy jelenleg hol tartunk a számelmélet felépítésében, amit ugye a semmiből kezdtünk el az előző részben.

A Peano-axiómarendszer 4 állításával bevezettük a természetes számok halmazát:

Ezen a halmazon bevezettünk két műveletet az alábbi definíciók szerint:

Bizonyítottuk, hogy e két művelet engedelmeskedik az általános iskolából már jól ismert számolási szabályoknak:

A 4 alapművelet közül tehát a két legfontosabb (az összeadás és a szorzás) már többé-kevésbé rendelkezésünkre áll. A kivonás azonban sajnos a természetes számok \N halmazán nem művelet (lásd a 11.3. Definíció), mivel bizonyos esetekben kivezet belőle. Például nincs olyan természetes szám, amely a 2-5 különbségképzés eredménye lenne (a -3 ugyanis nem természetes szám, holott a 2 és az 5 is az).

Kinőttük tehát az \N halmazt, ezért a következő részben át fogunk térni egy \N-nél bővebb számkörbe, amelyben már gond nélkül fogunk tudni kivonást is végezni. Sajnos azonban osztásról általánosságban még itt sem fogunk tudni beszélni – legalábbis nem a megszokott értelemben. Cserébe viszont elkezdhetünk majd végre ismerkedni azokkal a számokkal, amelyek alapvető szerepet játszanak a kriptográfiai eljárásokban, és úgy általában az egész számelméletben.

A számkör bővítésének előkészítése érdekében bevezettünk egy relációt az \N halmazon:

Végül – az indirekt bizonyítás módszerét bemutatva – megmutattuk, hogy ez a reláció egy teljes rendezést valósít meg a természetes számok között:

A következő részben kilépünk a természetes számok köréből egy sokkal előnyösebb algebrai tulajdonságokkal bíró számkörbe. Ennek keretében bemutatjuk azt az absztrakciós utat, amelyet az emberiség hajnalán őseinknek is meg kellett tenniük, és ezzel párhuzamosan megismerkedünk néhány absztrakt algebrai fogalommal. Ezek segítségével általánosabb módon tudjuk majd tárgyalni azokat a számelméleti összefüggéseket, amelyek végül a prímszámok elméletén keresztül elvezetnek minket napjaink biztonságos kommunikációjának alapjaihoz.

A következő részt itt találod…