Az a\leq b és b\leq c relációk teljesülése, valamint az a\lt b vagy b\lt c relációk közül legalább az egyik teljesülése a 15.18. Definíció miatt azt jelenti, hogy léteznek n és k természetes számok, amelyek közül legalább az egyik nem 0, valamint a+n=b és b+k=c. A második egyenletbe b helyére az első egyenlet baloldalát behelyettesíthetjük: \underbrace{(a+n)}_{=b}+k=c. Ez a kifejezés az összeadás asszociativitása miatt átzárójelezhető: a+(n+k)=c. Az n+k összegről viszont tudjuk, hogy mindkét tagja természetes szám, melyek közül legalább az egyik nem 0. Márpedig a 12.17. Lemma kimondja, hogy ebben az esetben maga az összeg sem 0.

Összefoglalva: létezik olyan nem 0 természetes szám – nevezetesen az n+k –, amelyet a-hoz adva c-t kapunk. Ez a 15.18. Definíció miatt épp azt jelenti, hogy a\lt c.