Tekintsük az alábbi lineáris kongruenciát:

ax\equiv 1\pmod m

Ennek a lineáris kongruenciának a 20.12. Tétel értelmében akkor és csak akkor létezik megoldása, ha teljesül az (a,m)|1 oszthatóság. Minthogy az 1 egész szám a \Z gyűrű egységeleme, így ez az oszthatóság akkor és csak akkor teljesülhet, ha (a,m) egység, azaz a relatív prím m-hez.

Márpedig k\gt 1 kitevő esetén az a^k\equiv 1\pmod m kongruencia így írható fel:

a\cdot \overbrace{a^{k-1}}^{=x}\pmod m

Ha pedig a k kitevő 1, akkor pedig így:

a\cdot \overbrace{1}^{=x}\pmod m

Első esetben a fenti lineáris kongruenciát az x=a^{k-1}, második esetben pedig az x=1 egész szám kielégíti, azaz van megoldása, és így a 20.12. Tétel értelmében a valóban relatív prím m-hez.