Tegyük fel indirekt, hogy nem ez a helyzet, vagyis annak ellenére, hogy [a]_n és [b]_n különböznek egymástól, mégiscsak teljesül az alábbi egyenlőség:

[c]_n \odot [a]_n = [c]_n \odot [b]_n

A \odot művelet 20.5. Tételben ismertetett definíciója alapján ez az alábbit jelenti:

[ca]_n = [cb]_n

Az egész számok maradékosztályainak 20.4. Tételben bevezetett definíciója alapján ugyanezt a kongruenciák nyelvén is kifejezhetjük:

ca\equiv cb\pmod n

Mivel [c]_n egy redukált maradékosztály, ezért a 20.14. Tétel alapján c relatív prím n-hez, és így a kongruencia a 20.3. Tétel utáni megjegyzés szerint minden további nélkül egyszerűsíthető c-vel. Ezt kapjuk tehát:

a\equiv b\pmod n

Ez viszont azt jelenti, hogy indirekt feltételezésünkkel ellentétben a és b mégiscsak ugyanazt a maradékosztályt reprezentálja, ami ellentmondás.