Nézzük először a könnyebbik irányt. Azt kell belátnunk, hogy ha valamilyen P részhalmazhoz létezik olyan \leq részbenrendezés, amelynek épp P a pozitivitástartománya, és kielégíti a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat, akkor P zárt az összeadásra és a szorzásra, valamint nem tartalmazza a nullelemet.

Vegyünk két tetszőleges P-beli elemet, és jelöljük őket a-val és b-vel. Az, hogy ők P-ben vannak, a 15.12. Definíció miatt ezt jelenti:

\begin{aligned}a&\neq 0 \\ b&\neq 0 \\ a&\geq 0 \\ b&\geq 0\end{aligned}

Az 1. rendezési axióma miatt az a\geq 0 egyenlőtlenség mindkét oldalához b-t adva az egyenlőtlenség továbbra is érvényes, azaz a+b\geq b. De mivel részbenrendezésről van szó, és b\geq 0 ugye teljesül, ezért a tranzitivitás miatt:

a+b\geq 0

Igaz ugyanakkor az is, hogy a+b \neq 0, hiszen máskülönben a=-b lenne a helyzet, azaz a pozitivitástartomány 15.12. Definíciója utáni megjegyzés alapján egyiküknek a -P negativitástartományban kéne lennie. Ez ugye ellentmondana annak, hogy mindkettő P-ben van, így valóban a+b is benne van P-ben, azaz P zárt az összeadásra.

Most nézzük, mi a helyzet az ab és a ba szorzatokkal? A 2. rendezési axióma miatt az a\geq 0 egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozhatjuk a b\geq 0 elemmel jobbról is és balról is, azaz egyrészt ab\geq 0b, másrészt ba\geq b0. Mindkét egyenlőtlenség jobboldala a 15.1. Tétel 1. pontja alapján 0-val egyenlő, ezért:

\begin{aligned}ab&\geq 0 \\ ba&\geq 0\end{aligned}

Tekintve, hogy a gyűrű a tétel feltétele miatt nullosztómentes, ezért e két szorzat közül egyik sem 0, és így mindkettő szintén benne van P-ben, azaz P zárt a szorzásra is.

Végül, mivel P-ről azt mondtuk, hogy pozitivitástartománya a \leq rendezési relációnak, ezért a 15.12. Definíció miatt nem tartalmazza a nullelemet.

Most nézzük a nehezebbik irányt. Itt azt kell belátnunk, hogy ha valamilyen P részhalmaz zárt az összeadásra és a szorzásra, valamint nem tartalmazza a gyűrű nullelemét, akkor létezik olyan részbenrendezés a gyűrűn, amelynek épp P a pozitivitástartománya, és kielégíti a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat.

Definiáljunk hát egy \lesssim szimbólummal jelölt relációt a gyűrű alaphalmazán a következőképpen: a \lesssim b akkor és csak akkor, ha a=b vagy pedig a b+(-a) elem benne van a P halmazban.

A feladatunk tehát megmutatni, hogy a P-re vonatkozó feltételek teljesülése esetén \lesssim valóban egy részbenrendezés (azaz reflexív, tranzitív és antiszimmetrikus), és ezen felül még a rendezési axiómákat is teljesíti. A reflexivitás azonnal látszik, hiszen a \lesssim reláció teljesülésének első feltétele épp a=b volt.

A tranzitivitás megmutatásához tegyük fel, hogy valamilyen a, b és c elemekre teljesülnek az a\lesssim b és a b\lesssim c relációk. Feladatunk megmutatni, hogy ekkor az a\lesssim c reláció is teljesül. Feltehetjük, hogy ez a 3 elem páronként különbözik, máskülönben bármelyik kettő egyezése esetén nyilvánvalóan fennáll a\lesssim c. Ha viszont páronként különböznek, akkor a\lesssim b és b\lesssim c épp azt jelenti, hogy a b+(-a) és a c+(-b) elemek benne vannak a P halmazban. Mivel azonban P zárt az összeadásra, ezért ezek összege is, azaz a (b+(-a))+(c+(-b)) elem is benne van a P halmazban. Az összeadásra vonatkozó gyűrűaxiómák miatt azonban ez a kifejezés c+(-a)-val egyenlő, amely épp azt jelenti, hogy a\lesssim c. A \lesssim reláció tehát valóban tranzitív.

Az antiszimmetria bizonyításához indirekt tegyük fel, hogy léteznek olyan galád a és b elemek, amelyekre a\lesssim b és b\lesssim a is teljesül, ugyanakkor a\neq b. Ebben az esetben a\lesssim b és b\lesssim a épp azt jelenti, hogy a b+(-a) és az a+(-b) elemek benne vannak a P halmazban. Mivel azonban P zárt az összeadásra, ezért ezek összege is, azaz a (b+(-a))+(a+(-b)) elem is benne van a P halmazban. Az összeadásra vonatkozó gyűrűaxiómák miatt azonban ez a kifejezés épp a gyűrű nullelemével egyenlő. Ez ellentmond annak, hogy P nem tartalmazza a nullelemet. A \lesssim reláció tehát szükségképpen antiszimmetrikus kell legyen.

Annyi van még hátra, hogy megmutassuk, hogy a \lesssim reláció teljesíti a 15.11. Definíció szerinti rendezési axiómákat is. Nézzük az 1. rendezési axiómát. Ehhez tegyük fel, hogy valamilyen a és b elemekre fennáll az a\lesssim b reláció, és legyen c egy tetszőleges gyűrűelem. Meg kell mutatnunk, hogy ekkor fennáll az a+c\lesssim b+c reláció is. Feltehetjük, hogy a\neq b, hiszen máskülönben nyilvánvalóan a \lesssim reláció már bizonyított reflexivitása miatt a+c\lesssim \underbrace{a}_{=b}+c is igaz. Ha viszont a\neq b, akkor a\lesssim b épp azt jelenti, hogy b+(-a) benne van a P halmazban. Ehhez a kifejezéshez hozzáadva a c elemet és annak ellentettjét, a kifejezés eredménye a gyűrűaxiómák miatt nem változik:

(b+(-a))+\underbrace{(c+(-c))}_{=0}

Mivel az összeadás kommutatív és asszociatív, így ez a kifejezés átzárójelezhető és átsorrendezhető:

(b+c)+((-a)+(-c))

Vegyük azonban észre, hogy a jobboldali (-a)+(-c) tag a 15.1. Tétel 5. pontja miatt így is írható: -(a+c). Így tehát azt kapjuk, hogy az alábbi elem szintén benne van a P halmazban:

(b+c)+(-(a+c))

Ez viszont a \lesssim reláció definíciója miatt épp azt jelenti, hogy a+c\lesssim b+c.

Végül ellenőrizzük a 15.11. Definíció szerinti 2. rendezési axióma teljesülését is. Ehhez tegyük fel, hogy valamilyen a és b elemekre fennáll az a\lesssim b reláció, és legyen adva egy tetszőleges 0\lesssim c gyűrűelem. Meg kell mutatnunk, hogy ekkor fennállnak az ac\lesssim bc, valamint a ca\lesssim cb relációk is. Feltehetjük egyrészt, hogy c\neq 0, hiszen máskülönben nyilvánvalóan a \lesssim reláció már bizonyított reflexivitása miatt \underbrace{0}_{=a0=0a}\lesssim \underbrace{0}_{=b0=0b} is igaz. Másrészt azt is feltehetjük, hogy a\neq b, hiszen máskülönben ugyanezen okok miatt ac\lesssim \underbrace{a}_{=b}c és ca\lesssim c\underbrace{a}_{=b} szintén nyilvánvalóan teljesül.

Ha viszont a\neq b és c\neq 0, akkor egyrészt a\lesssim b épp azt jelenti, hogy b+(-a) benne van a P halmazban, másrészt pedig 0\lesssim c épp azt jelenti, hogy c+(-0)=c szintén benne van a P halmazban. Mivel azonban P zárt a szorzásra, ezért a (b+(-a))c valamint a c(b+(-a)) szorzatok szintén benne vannak a P halmazban. E két szorzat viszont a disztributivitási szabályok és a 15.1. Tétel 3. pontja miatt így írható fel:

\begin{aligned}(b+(-a))c &= bc+(-a)c = bc+(-(ac)) \\ c(b+(-a)) &= cb+c(-a) = cb + (-(ca)) \end{aligned}

Az, hogy ezek a P halmazban vannak, a \lesssim reláció definíciója miatt épp azt jelenti, hogy ac\lesssim bc és ca\lesssim cb. Valóban teljesül tehát a 2. rendezési axióma is.