Kezdjük az 1. tulajdonsággal. Itt a kiindulási feltételünk az, hogy az a\leq b egyenlőtlenség mindkét oldalát egy „legalább” 0 elemmel megszorozva a reláció iránya nem változik. Azt kell belátni, hogy ebben az esetben egy „legfeljebb” 0 elemmel való szorzás viszont megfordítja a relációt. A tételben ezt a „legfeljebb” 0 elemet d-vel jelöltük, azaz d\leq 0. Ebből viszont a 15.9. Lemma 1. pontja miatt következik, hogy (-d)\geq 0, azaz d ellentettje „legalább” 0.

A kiindulási feltételünk szerint viszont bármilyen „legalább” 0 elemmel szorozva az a\leq b relációt, annak iránya nem változik. Ez tehát igaz lesz (-d)-re is, és így:

a(-d)\leq b(-d)

Ebből viszont a 15.9. Lemma 2. pontja miatt megkapjuk az 1. tulajdonságot:

ad\geq bd

A 2. tulajdonság bizonyítása ehhez nagyon hasonló. Itt a kiindulási feltételünk az, hogy az a\leq b egyenlőtlenség mindkét oldalát egy „legalább” 0 elemmel megszorozva a reláció iránya megfordul. Azt kell belátni, hogy ebben az esetben egy „legfeljebb” 0 elemmel való szorzás viszont nem változtatja meg a reláció irányát. A tételben ezt a „legfeljebb” 0 elemet d-vel jelöltük, azaz d\leq 0. Ebből viszont a 15.9. Lemma 1. pontja miatt megintcsak következik, hogy (-d)\geq 0, azaz d ellentettje „legalább” 0.

A kiindulási feltételünk szerint viszont bármilyen „legalább” 0 elemmel szorozva az a\leq b relációt, annak iránya megfordul. Ez tehát igaz lesz (-d)-re is, és így:

a(-d)\geq b(-d)

Ebből viszont a 15.9. Lemma 2. pontja miatt megkapjuk a 2. tulajdonságot:

ad\leq bd