Nézzük az 1. tulajdonság bizonyítását. Az ac=bc egyenlet mindkét oldalához adjuk hozzá bc ellentettjét (amely ugye a 3. gyűrűaxióma miatt létezik):

ac+(-(bc))=0

A baloldal második tagja a 15.1. Tétel 3. pontja miatt így is írható:

ac+(-b)c=0

Az egyenlet baloldala az 5. gyűrűaxióma miatt átírható erre:

(a+(-b))c=0

Mivel a gyűrű nullosztómentes, ezért nem létezik benne jobboldali nullosztó, így c sem lehet az. Ez a 15.3. Definíció miatt azt jelenti, hogy nem létezik olyan nem 0 elem, amelyet c-vel jobbról megszorozva a nullelemet kapnánk. Másként fogalmazva a fenti egyenlet csak akkor teljesülhet, ha a+(-b)=0. Mindkét oldalhoz b-t adva megkapjuk a tételben szereplő 1. tulajdonságot: a=b.

A 2. tulajdonság ugyanezen a módon igazolható, csak ekkor a baloldali disztributivitást és a baloldali nullosztó fogalmát kell felhasználni.

Most bizonyítjuk a tétel megfordítását. Ez ugye azt állítja, hogyha teljesül a tételbeli mindkét tulajdonság egy gyűrűre, akkor a gyűrű nullosztómentes. Vizsgáljuk meg külön-külön, mi a következménye az 1. és a 2. tulajdonság teljesülésének.

Ha az 1. tulajdonság teljesül, akkor az azt jelenti, hogy tetszőleges a, b és c\neq 0 elemek esetén az ac=bc állításból következik az a=b állítás. Speciálisan, ha b történetesen épp a gyűrű nulleleme, akkor tetszőleges a és c\neq 0 elemek esetén az ac=0c állításból következne az a=0 állítás. Ezt a 15.1. Tétel 1. pontja miatt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy tetszőleges a és c\neq 0 elemek esetén az ac=\underbrace{0}_{=0c} állításból következne az a=0 állítás. A 15.3. Definíció miatt ez épp azt jelenti, hogy a gyűrűben nem létezik jobboldali nullosztó.

Ha a 2. tulajdonság teljesül, akkor ugyanilyen gondolatmenetet követve azt kapjuk, hogy a gyűrűben nem létezik baloldali nullosztó.

Ha tehát mindkét tulajdonság teljesül, akkor a gyűrű nullosztómentes.