Nézzük először a teljes maradékrendszerekre vonatkozó állítást! Tegyük fel, hogy H teljes maradékrendszer modulo m. Mivel a modulo m maradékosztályok száma a 20.4. Tétel alapján m, és H minden maradékosztályból pontosan egy elemet tartalmaz, ezért elemszáma szükségképpen m. Továbbá H elemei páronként inkongruensek modulo m, hiszen mindegyik különböző maradékosztályból származik.

Visszafelé: Tegyük fel, hogy a H halmaz m darab páronként inkongruens számot tartalmaz. Ekkor a páronkénti inkongruencia miatt ezek mindegyike különböző maradékosztályokba tartozik. Továbbá mivel a számuk m, ezért m darab maradékosztályt reprezentálnak, azaz a 20.4. Tétel alapján az összeset. A H halmaz tehát valóban egy modulo m teljes maradékrendszer.

Most nézzük a redukált maradékrendszerekre vonatkozó állítást! Tegyük fel, hogy H redukált maradékrendszer modulo m. Mivel a modulo m redukált maradékosztályok száma a 20.7. Definíció alapján \varphi(m), és H minden redukált maradékosztályból pontosan egy elemet tartalmaz, ezért elemszáma szükségképpen \varphi(m). Továbbá H elemei páronként inkongruensek modulo m, hiszen mindegyik különböző redukált maradékosztályból származik. Végül H minden eleme relatív prím m-hez, hiszen ezeket redukált maradékosztályokból választottuk ki, márpedig a 20.14. Tétel alapján egy redukált maradékosztálynak minden eleme relatív prím m-hez.

Visszafelé: Tegyük fel, hogy a H halmaz \varphi(m) darab páronként inkongruens számot tartalmaz, amelyek mindegyike relatív prím m-hez. Ekkor a páronkénti inkongruencia miatt ezek mindegyike különböző maradékosztályokba tartozik, amelyek mindegyike az m-hez relatív prímség miatt redukált maradékosztály. Továbbá mivel a számuk \varphi(m), ezért \varphi(m) darab redukált maradékosztályt reprezentálnak, azaz a 20.7. Definíció alapján az összeset. A H halmaz tehát valóban egy modulo m redukált maradékrendszer.