Az 15.15. Tétel alapján minden a\neq 0 elemre teljesül, hogy vagy ő, vagy pedig az ellentettje benne van az összes olyan pozitivitástartományban, amely valamilyen, a rendezési axiómákat kielégítő teljes rendezéshez tartozik.

Az első esetben a\cdot a is benne van az összes ilyen pozitivitástartományban, hiszen azok – nullosztómentes gyűrűről lévén szó – a 15.14. Tétel miatt zártak a szorzás műveletére nézve.

Második esetben az a elem helyett a (-a) elem van benne ezekben a pozitivitástartományokban, de ekkor – szintén a 15.14. Tétel miatt – a (-a)\cdot (-a) szorzat is. Vegyük észre azonban, hogy ez a szorzat a 15.1. Tétel 4. pontja alapján épp a\cdot a-val egyenlő.

Azt kaptuk tehát, hogy minden a\neq 0 elem önmagával vett szorzata mindenképpen pozitív bármely teljes rendezésre nézve – még akkor is, ha ő maga negatív. De ekkor e szorzatok tetszőleges kombinációban felírt összegei is pozitívak, hiszen a 15.14. Tétel szerint egy nullosztómentes gyűrűben a pozitivitástartományok zártak az összeadásra nézve.