Legyen R egy tetszőleges kommutatív gyűrű. Ha valamely a, b és c elemekre a=b\cdot c teljesül, akkor a b\cdot c szorzatot az a elem felbontásának nevezzük. Azokat a felbontásokat, amelyekben b és c közül az egyik egység, a másik pedig a asszociáltja, triviális felbontásoknak nevezzük. Ha egy gyűrűelem saját maga nem egység és nem létezik nemtriviális felbontása (azaz ha létezik is felbontása, az csak triviális lehet), akkor őt felbonthatatlannak vagy irreducibilisnek nevezzük. Ha egy elem nem felbonthatatlan és nem egység, akkor őt összetett elemnek nevezzük. Az egységeket nem tekintjük sem felbonthatatlannak, sem pedig összetettnek.