Legyen adott egy \N-nel jelölt halmaz, valamint egy s:\N \to \N függvény. Az \N halmaz elemeit természetes számoknak nevezzük, amennyiben teljesülnek a következő axiómák:

1. Az s függvény az \N halmaz minden x eleméhez rendeljen hozzá valamilyen szintén \N-beli elemet, azaz létezzen az s(x) elem. Ezt az elemet az x rákövetkezőjének nevezzük.
2. Ha x és y az \N halmaz két tetszőleges eleme, és s(x)=s(y), akkor x=y. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a két elem egyenlő egymással.
3. Az \N halmazban létezik pontosan egy olyan 0-val jelölt elem, amelyhez nem található olyan x elem, amelyre teljesül, hogy s(x)=0. Ezt az elemet nullának nevezzük.
4. Tegyük fel, hogy a P halmaz az \N halmaznak egy valamilyen részhalmaza. Ha a 0 a P halmazban van, valamint ha abból, hogy egy tetszőleges x elem a P halmazban van következik, hogy s(x) is a P halmazban van, akkor \N összes eleme a P halmazban van – azaz P=\N.