Az egyik irányt már bizonyítottuk a 16.8. Tétel 4. pontjában.

Most nézzük a másik irányt, azaz tegyük fel, hogy a gyűrű egységelemes, és a\sim b. A 16.2. Tétel 1. pontja alapján egységelemes gyűrűkben minden elem osztója önmagának, így tehát fennállnak az a|a valamint a b|b oszthatóságok. Mivel azonban a és b egymás asszociáltjai, ezért pontosan ugyanazok az osztóik. Ha tehát fennáll az a|a oszthatóság, akkor szükségképpen fennáll az a|b oszthatóság is. Ugyanilyen okból ha fennáll a b|b oszthatóság, akkor szükségképpen fennáll a b|a oszthatóság is.