Nézzük először a tétel második felét. Itt csak annyit kell feltételeznünk, hogy a gyűrű kommutatív és egységelemes. Tegyük most fel, hogy valamely a és b elemekhez létezik olyan e egység, hogy a\cdot e=b – azaz a b elem az a elem egységszerese. Feladatunk megmutatni, hogy ekkor a\sim b.

Az a\cdot e=b egyrészt a 16.1. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy teljesül az a|b oszthatóság. Másrészt, mivel e egység, ezért a 16.5. Tétel alapján ő osztója az egységelemnek, azaz teljesül az e|1 oszthatóság is. Ez szintén a 16.1. Definíció miatt épp azt jelenti, hogy létezik olyan f gyűrűelem, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:

e\cdot f=1

Ha ezzel az f elemmel megszorozzuk a b gyűrűelemet, ezt kapjuk:

b\cdot f=\underbrace{a\cdot e}_{=b}\cdot f

Mivel azonban e és f szorzata épp az egységelemet adja, ezért végülis:

b\cdot f=a\cdot \underbrace{e\cdot f}_{=1}=a

Ez a 16.1. Definíció miatt épp azt jelenti, hogy teljesül a b|a oszthatóság is. Ebből viszont a 16.9. Tétel miatt következik, hogy a\sim b.

Most a tétel megfordítását bizonyítjuk. Ehhez már fel kell használnunk a nullosztómentességet is. Most azt tegyük fel, hogy valamely a és b elemek esetén teljesül az a\sim b asszociáció. Azt fogjuk megmutatni, hogy ekkor az a és b elemek egymás egységszeresei. Ha a=0, akkor a 16.8. Tétel 3. pontja miatt szükségképpen b=0, és ezek nyilván egymás egységszeresei. Így a továbbiakban feltesszük, hogy a\neq 0.

Mivel teljesül az a\sim b asszociáció, és a gyűrű egységelemes, ezért a 16.9. Tétel alapján teljesülnek az a|b és a b|a oszthatóságok. Ez épp azt jelenti, hogy léteznek olyan k_1 és k_2 gyűrűelemek, amelyekre teljesülnek az alábbi egyenletek:

\begin{aligned}a\cdot k_1&=b \\ b\cdot k_2&=a\end{aligned}

A második egyenletbe b helyére az elsőt behelyettesítve, valamint a jobboldali a-t az egységelemmel megszorozva ezt kapjuk:

\underbrace{a\cdot k_1}_{=b}\cdot k_2=a\cdot 1

Mivel a gyűrű nullosztómentes, ezért a 15.4. Tétel alapján mindkét oldalt egyszerűsíthetjük a-val (amiről ugye feltettük, hogy nem nulla):

k_1\cdot k_2=1

A k_1 és a k_2 tehát mindketten osztói az egységelemnek, és így a 16.5. Tétel értelmében mindketten egységek. Vagyis az a és b elemek valóban egymás egységszeresei.