A tétel 1. állításához két dolgot kell bizonyítani. Egyrészt azt, hogy bármely d gyűrűelem akkor és csak akkor osztója a-nak, ha (-a)-nak is. A 16.2. Tétel 8. pontja épp azt mondja ki, hogy ha teljesül d|a, akkor teljesül d|(-a) is. Ez azonban természetesen visszafelé is igaz a 15.1. Tétel 2. pontja miatt, miszerint minden elem ellentettjének az ellentettje önmaga. Azaz ha teljesül d|(-a) akkor teljesül d|\underbrace{(-(-a))}_{=a} is.

A másik dolog, ami bizonyítani kell, hogy bármely d gyűrűelem akkor és csak akkor többszöröse a-nak, ha (-a)-nak is. Azaz a|d akkor és csak akkor teljesül, ha (-a)|d is teljesül. A 16.2. Tétel 8. pontja azonban azt is kimondja, hogy ha teljesül a|d, akkor teljesül (-a)|d is, így az előző gondolatmenet szinte szó szerint érvényes itt is.

A 2. állítás az 1. állítás egyszerű következménye. Ugyanis például b-re a tétel alapján igaz, hogy b\sim (-b), így ha a\sim b teljesül, akkor a tranzitivitás miatt a\sim (-b) is. A másik két asszociáció ugyanezen okok miatt teljesül.

A 3. állítás: Mivel az asszociáció a 16.7. Tétel értelmében reflexív, ezért nyilván teljesül a 0\sim 0 asszociáció. Azt kell megmutatni, hogy a nullelemnek nincs más asszociáltja. Tegyük fel indirekt, hogy nem ez a helyzet, azaz létezik olyan a\neq 0 elem a gyűrűben, amelyre teljesül a 0\sim a asszociáció. Ez tehát azt jelenti, hogy a 0-nak és az a elemnek pontosan ugyanazok az osztóik. A 0-nak viszont a 16.2. Tétel 3. pontja alapján osztója minden gyűrűelem. Az asszociáltság miatt ekkor a-nak is osztója az összes gyűrűelem, tehát speciálisan a 0 is. A 16.2. Tétel 4. pontja alapján azonban a 0|a oszthatóságból következik, hogy a=0, ami ellentmond indirekt feltételezésünknek, miszerint a\neq 0.

A 4. állítás: Tegyük fel, hogy egyszerre teljesülnek az a|b és a b|a oszthatóságok. Ekkor ha bármely d_1 elemre fennáll a d_1|a oszthatóság (azaz d_1 osztója a-nak), akkor az oszthatóság tranzitivitása miatt – mivel ugye a|b teljesül – fennáll a d_1|b oszthatóság is (azaz d_1 osztója b-nek is). Ugyanezen okok miatt ha bármely d_2 elem osztója b-nek, akkor a-nak is. Az a elemnek tehát pontosan ugyanazok az osztói, mint a b elemnek.

Ugyanez a gondolatmenet a többszörösökre is végigjátszható. Ha bármely t_1 elemre fennáll az a|t_1 oszthatóság (azaz t_1 többszöröse a-nak), akkor az oszthatóság tranzitivitása miatt – mivel ugye b|a teljesül – fennáll a b|t_1 oszthatóság is (azaz t_1 többszöröse b-nek is). Ugyanezen okok miatt ha bármely t_2 elem többszöröse b-nek, akkor a-nak is. Az a elemnek tehát ponotosan ugyanazok a többszörösei is, mint a b elemnek.

Láttuk tehát, hogy a|b és b|a együttes fennállása esetén a és b osztói is és többszörösei is megegyeznek. Ez viszont épp azt jelenti, hogy a\sim b.

Végül az 5. állítás: Egyrészt mivel e egység, ezért ő minden elemnek osztója, vagy másként fogalmazva neki minden elem a többszöröse. Ha mármost e\sim f, akkor f-nek is minden elem a többszöröse, és így ő is egység. Visszafelé: Mivel e és f egység, ezért ők minden elemnek osztói. Speciálisan tehát egymásnak is, és így a tétel 4. állítása miatt valóban asszociáltak.