Előszöris megjegyezzük, hogy a 25.5. Tétel 4. pontja alapján \ker f normálosztó G-ben, így a baloldalon álló G/\ker f faktorcsoport valóban értelmes. Igaz továbbá, hogy a 25.4. Tétel alapján \text{im} f részcsoport abban a csoportban, ahová f mutat, így a tételben szereplő csoportizomorfia jobboldala is értelmes. Most megmutatjuk, hogy az izomorfia valóban teljesül.
Az átláthatóság érdekében vezessük be az N=\ker f jelölést. A G/N faktorcsoport elemei tehát az N=\ker f, mint normálosztó szerinti baloldali mellékosztályok. A 25.5. Tétel 2. pontja alapján minden ilyen baloldali mellékosztályban az ott lévő elemeknek ugyanaz lesz az f szerinti képe H-ban, tehát abban a csoportban, ahová f mutat.
Ez alapján definiálhatunk egy g:G/N\to \text{im} f leképezést a tételben szereplő faktorcsoport és az f csoporthomomorfizmus képe között. Ennek a leképezésnek a képletét a G csoport elemeinek és az f csoporthomomomorfizmusnak a segítségével adjuk meg. Az alábbi képlet azt fejezi ki, hogy minden a elem esetén a g leképezés az a elemet tartalmazó BALOLDALI MELLÉKOSZTÁLYhoz épp azt az elemet rendeli hozzá a H csoportból, amelyet az f csoporthomomorfizmus is hozzárendel magához az a ELEMhez:
g(aN)=f(a)Az alábbi ábra mutatja a g leképezés iménti konstrukcióját.
Ez egy értelmes leképezés, ha ugyanis valamely a és b elemek ugyanabban a baloldali mellékosztályban vannak, akkor a 25.5. Tétel 2. pontja alapján az ő f szerinti képük megegyezik. Így tehát a g leképezés eredménye nem függ attól, hogy a bemeneti baloldali mellékosztály mely reprezentánselemének segítségével számítottuk azt ki a fenti képlettel.
Most igazoljuk, hogy a g leképezés kölcsönösen egyértelmű. Előszöris azt mutatjuk meg, hogy két különböző baloldali mellékosztály g szerinti képe is különbözik. Tegyük fel ezért indirekt, hogy a G csoport a és b elemei két különböző baloldali mellékosztályban vannak, ám e két mellékosztálynak ennek ellenére ugyanaz a g szerinti képe, azaz g(aN)=g(bN). Ez a g leképezés definíciója alapján azt jelentené, hogy f(a)=f(b). De ez ellentmondás, hiszen ez azt jelentené, hogy a és b mégis ugyanabban a baloldali mellékosztályban van. Azt tehát már tudjuk, hogy a H-beli \text{im} f részcsoport minden eleme legfeljebb egy baloldali mellékosztálynak lehet a g szerinti képe, azaz g injektív.
A kölcsönös egyértelműséghez azt kell még igazolni, hogy \text{im} f-ben nincs olyan elem, amely ne lenne képe valamely baloldali mellékosztálynak a g függvény szerint (azaz, hogy g szürjektív). Ez viszont természetesen teljesül, hiszen \text{im} f nem más, mint az f csoporthomomorfizmus képe. Következésképp minden itt lévő a elemhez létezik olyan x elem a G csoportban, amelynek épp a a képe az f függvény szerint (azaz f(x)=a). Ez az x elem viszont benne van az xN baloldali mellékosztályban, amelyhez viszont a g függvény rendeli hozzá az a elemet H-ban. A g függvény tehát valóban kölcsönösen egyértelmű.
A g művelettartási tulajdonsága a fenti képletből már könnyen adódik. Felhívjuk az Olvasó figyelmét, hogy az alábbi levezetésben három különböző csoport is érintett, ennek megfelelően az ezekben értelmezett műveletek között jelölésbeli különbséget is tettünk. A G/N faktorcsoport műveletét a \odot, a G csoport műveletét a \cdot, míg a H csoport műveletét a \boxdot szimbólumokkal jelöltük:
\begin{aligned}g(aN\odot bN)&=g((a\cdot b)N)=\\&=f(a\cdot b)=f(a)\boxdot f(b)=\\&=g(aN)\boxdot g(bN)\end{aligned}Így tehát g valóban csoportizomorfizmus a G/N faktorcsoport és f képe között.