25.1. Definíció (Csoporthomomorfizmus):

Tegyük fel, hogy adva van egy (G,\cdot) és egy (H,\odot) csoport. Ekkor egy f:G\to H függvényt csoporthomomorfizmusnak nevezünk, amennyiben tetszőleges G-beli a és b elemekre teljesül az alábbi művelettartó tulajdonság:

Amennyiben H minden eleme legalább egy G-beli elemhez hozzá van rendelve, akkor f-et szürjektív csoporthomomorfizmusnak vagy csoportráképzésnek nevezzük.

Amennyiben H minden eleme legfeljebb egy G-beli elemhez van hozzárendelve, akkor f-et injektív csoporthomomorfizmusnak vagy csoportbeágyazásnak nevezzük.

Amennyiben H minden eleme pontosan egy G-beli elemhez van hozzárendelve, akkor f-et bijektív csoporthomomorfizmusnak vagy csoportizomorfizmusnak nevezzük.

Ilyenkor azt mondjuk, hogy a G és a H csoport izomorf egymással. Ezt így jelöljük: G\simeq H.

Megjegyzés:

A csoportizomorfizmusokra a gyűrűizomorfizmusokhoz hasonlóan teljesül a szimmetria, a tranzitivitás és a reflexivitás. Azaz ha G, H és K tetszőleges csoportok, akkor teljesülnek az alábbiak:

1. Szimmetria: Ha G\simeq H, akkor H\simeq G.
2. Tranzitivitás: Ha G\simeq H és H\simeq K, akkor G\simeq K.
3. Reflexivitás: G\simeq G.

Ezek igazolása a gyűrűhomomorfizmusokról szóló 18.6. Definíció utáni megjegyzésben foglaltakkal szinte szó szerint megegyezik azzal a különbséggel, hogy itt kettő helyett csak egy művelet van.

25.2. Lemma:

Legyen adva egy (G,\cdot) és egy (H,\odot) csoport, valamint egy közöttük lévő f:G\to H csoporthomomorfizmus. Ekkor igazak az alábbiak:

1. Ha rendre e_G és e_H jelöli a G és H csoportok egységelemét, akkor f(e_G)=e_H.
2. Ha a -1 kitevő az inverzképzést jelöli a megfelelő csoportban, akkor tetszőleges G-beli a elem esetén f(a^{-1})=(f(a))^{-1}.

Szavakkal: egy csoporthomomorfizmus az inverzképzést és az egységelemet is tartja. Azaz egyrészt a G csoport egységelemének képe a H csoport egységeleme, másrészt bármely G-beli elem G-beli inverzének képe az elem képének H-beli inverze.

Bizonyítás:

Az 1. állítás: Mivel egyrészt e_G a G csoport egységeleme, valamint f tartja a csoportműveletet, ezért a G csoport tetszőleges a elemére felírhatók az alábbiak:

Másrészt, mivel e_H a H csoport egységeleme, ezért f(a)=f(a)\odot e_H és f(a)=e_H\odot f(a) is igaz. Ezt az előző egyenletekkel összevetve az alábbit kapjuk:

Ha az első egyenlet mindkét oldalát balról, vagy a második egyenlet mindkét oldalát jobbról megszorozzuk a H csoportban az f(a) elem H-beli inverzével, akkor megkapjuk a tétel 1. állítását:

A 2. állítás: Legyen a a G csoport valamely tetszőleges eleme, amelynek G-beli ellentettjét jelöljük a^{-1}-gyel. Ekkor az 1. állítás miatt:

Másrészt viszont f tartja a csoportműveletet, így igaz az alábbi is:

A két-két egyenletet egymással összevetve ezt kapjuk:

Mivel f(a) és f(a^{-1}) szorzata mindkét sorrendben épp a H csoport egységeleme, valamint az inverzképzés a 14.10. Tétel alapján egyértelmű, ezért f(a^{-1}) valóban az f(a) elem H-beli inverzével egyezik meg.

25.3. Definíció (Csoporthomomorfizmus magja és képe):

Legyenek G és H tetszőleges csoportok, valamint legyen adva közöttük egy f:G\to H csoporthomomorfizmus. Ekkor az f csoporthomomorfizmus magjának nevezzük azon G-beli elemek halmazát, melyeknek f szerinti képe a H csoport egységeleme. Az f magját – az angol „kernel” szóból eredeztetve – így jelöljük: \ker f.

Az f csoporthomomorfizmus képének nevezzük azoknak a H-beli elemeknek a halmazát, amelyek képei legalább egy G-beli elemnek. Az f képét – az angol „image” szóból eredeztetve – így jelöljük: \text{im} f.

Az alábbi ábra szemlélteti a fenti fogalmakat:

25.4. Tétel:

Legyen adva egy H csoport, és annak egy T részhalmaza. A T részhalmaz akkor és csak akkor képe egy H-ba mutató csoporthomomorfizmusnak, ha részcsoport H-ban.

Bizonyítás:

Tekintsük azt az f csoporthomomorfizmust, amelynek képe T. Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen X csoport elemein van értelmezve, amelynek egységelemét jelöljük most e_X-szel, míg a H csoport egységelemét jelöljük e_H-val. Azt kell megmutatnunk, hogy T-re teljesülnek a 24.5. Tételben felsorolt feltételek.

A 25.2. Lemma 1. pontja alapján f(e_X)=e_H, így tehát a H csoport egységeleme valóban benne van T-ben.

Ha valamilyen a és b elemek benne vannak T-ben, akkor léteznek olyan x_a és x_b elemek X-ben, amelyeknek épp ő a képük, azaz f(x_a)=a és f(x_b)=b. A két egyenletet összeszorozva H-ban, valamint kihasználva f művelettartó tulajdonságait az alábbit kapjuk:

Létezik tehát olyan elem X-ben, amelynek a\cdot b a képe (nevezetesen x_a\cdot x_b), emiatt az a\cdot b szorzat is benne van T-ben, ami így valóban zárt a H csoport szorzására nézve.

Végül ha valamilyen a elem benne van T-ben, akkor létezik olyan x_a elem X-ben, amelynek épp a a képe, azaz f(x_a)=a. A 25.2. Lemma 2. pontja alapján azonban f tartja az inverzképzést is, így teljesül az alábbi:

Létezik tehát olyan elem X-ben, amelynek a^{-1} a képe (nevezetesen x_a^{-1}), emiatt a^{-1} is benne van T-ben, ami így zárt az inverzképzésre nézve is. Minthogy a 24.5. Tételben felsorolt minden feltétel teljesül, ezért T valóban részcsoport H-ban.

Visszafelé: Tegyük most fel, hogy T részcsoport H-ban. Azt kell megmutatnunk, hogy van olyan H-ba mutató csoporthomomorfizmus, amelynek képe T. Tekintsük például azt az f:T\to H függvényt, amely T minden eleméhez önmagát rendeli hozzá. Ez kétségkívül nem egy izgalmas függvény, viszont nyilvánvalóan csoporthomomorfizmus, aminek a képe ráadásul épp a T halmaz.

25.5. Tétel:

Tegyük fel, hogy egy G csoport valamely N részhalmaza egy G-ből kiinduló csoporthomomorfizmus magja. Ekkor teljesülnek az alábbiak:

1. Az N halmaz egy részcsoport G-ben.
2. Tetszőleges a\in G és b\in G elemek esetén f(a)=f(b) akkor és csak akkor, ha a és b ugyanabban az N részcsoport szerinti baloldali mellékosztályban van, azaz b\in aN.
3. Tetszőleges a\in G és b\in G elemek esetén f(a)=f(b) akkor és csak akkor, ha a és b ugyanabban az N részcsoport szerinti jobboldali mellékosztályban van, azaz b\in Na.
4. A G csoport N részcsoportja szerinti bal- és jobboldali mellékosztályok megegyeznek, azaz tetszőleges a\in G elem esetén aN=Na.

Bizonyítás:

Tekintsük azt az f csoporthomomorfizmust, amelynek N a magja. Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen X csoportba képez, amelynek egységelemét jelöljük most e_X-szel, míg a G csoport egységelemét jelöljük e_G-vel. Az f függvény tehát N minden eleméhez e_X-et rendeli hozzá, hiszen \ker f=N. Ezt a szituációt mutatja az alábbi ábra.

Az 1. állítás igazolásához azt kell megmutatni, hogy N részcsoport G-ben. Ez a 24.5. Tétel alapján pontosan akkor teljesül, ha N tartalmazza e_G-t, valamint zárt a G csoport műveletére és a G-beli inverzképzésre.

Mivel f csoporthomomorfizmus, ezért a 25.2. Lemma értelmében tartja az egységelemet és az inverzképzést. Azaz egyrészt f(e_G)=e_X, és így e_G valóban benne van f magjában, vagyis N-ben. Másrészt ha valamilyen a benne van N-ben, akkor f(a)=e_X, és így az inverzképzés tartása miatt f(a^{-1})=(f(a))^{-1}=e_X^{-1}=e_X. Azaz a inverzének is e_X a képe, következésképp ő is benne van N-ben.

A G csoport műveletére való zártság szintén f művelettartó tulajdonságából ered. Ha ugyanis a és b az N két tetszőleges eleme, akkor egyrészt f(a)=e_X és f(b)=e_X. Másrészt viszont a művelettartás miatt az ő szorzatukra teljesül az alábbi:

Tehát az a\cdot b szorzat is az X csoport egységelemére képeződik, következésképp ő is benne van N-ben. Mivel teljesül a 24.5. Tétel minden feltétele, ezért N valóban részcsoport G-ben.

A 2. állítás igazolásához tegyük fel tehát, hogy f(a)=f(b) valamilyen a\in G és b\in G elemek esetén. Vizsgáljuk meg, hogy mi lesz az a^{-1}b szorzat f szerinti képe X-ben. Ehhez kihasználjuk egyrészt f művelettartó és inverzképzéstartó (lásd a 25.2. Lemma 2. pontját) tulajdonságát, másrészt pedig azt a tényt, hogy jelen esetben ugye f(a)=f(b):

Mivel tehát az a^{-1}b szorzat épp az X csoport egységelemére képződött, ezért ez a szorzat benne van f magjában, azaz a^{-1}b\in N. Ez viszont azt jelenti, hogy a és b között fennáll a 24.7. Tételben definiált \sim-vel jelölt ekvivalenciareláció, azaz a és b ugyanabban az ekvivalencia-osztályban vannak. Minthogy az említett tétel alapján ezek az ekvivalencia-osztályok tulajdonképpen az N szerinti baloldali mellékosztályok, ezért valóban b\in aN.

Visszafelé: Tegyük most fel, hogy a és b ugyanabban az N szerinti baloldali mellékosztályban vannak. Ez a 24.7. Tétel alapján azt jelenti, hogy a^{-1}b\in N. De mivel N az f csoporthomomorfizmus magja, ezért ez a szorzat az X csoport egységelemére képződik, azaz f(a^{-1}b)=e_X. Ebből viszont – ismét kihasználva f művelettartó és inverzképzéstartó tulajdonságát – az alábbi következik:

Ha most az utolsó egyenlőségjel által leírt egyenlet mindkét oldalát balról megszorozzuk f(a)-val, akkor az alábbit kapjuk:

Azaz – az egységelemeket elhagyva – valóban f(b)=f(a), és ezzel igazoltuk a tétel 2. állítását.

A 3. állítás ugyanígy igazolható, csak ebben az esetben az a^{-1}b szorzat helyett a ba^{-1} szorzatot kell tekinteni, és f(a)-val nem balról, hanem jobbról kell szorozni.

Végül a 4. állításhoz most tekintsünk egy tetszőleges a\in G elemet, és mutassuk meg, hogy az aN mellékosztály, mint halmaz megegyezik az Na mellékosztállyal. Ehhez a 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján azt kell igazolni, hogy az alábbi mindkét tartalmazási reláció fennáll:

Az első tartalmazáshoz azt kell megmutatni, hogy tetszőleges b\in aN esetén b\in Na is teljesül. Mivel b\in aN, ezért ez azt jelenti, hogy b ugyanabban a baloldali mellékosztályban van, mint a. Ez viszont a már bizonyított 2. állítás alapján azt jelenti, hogy f(a)=f(b), ami azonban a szintén már bizonyított 3. állítás miatt azt is jelenti, hogy b ugyanabban a jobboldali mellékosztályban van, mint a, azaz valóban b\in Na. A másik irányú tartalmazást ugyanilyen módon lehet megmutatni a 2. és 3. állítások felhasználásával.

Ezzel igazoltuk a tétel 4. állítását, miszerint az N szerinti bal- és jobboldali mellékosztályok valóban megegyeznek.

Megjegyzés a bizonyításhoz:

Megjegyezzük, hogy az iménti bizonyítás gondolatmenete alapján a tételben az 1. állítás mellett elegendő lett volna kizárólag a 4. állítást megfogalmazni, hiszen az ekvivalens a 2. és 3. állítások együttes teljesülésével.

Tegyük fel ugyanis, hogy teljesül a 4. állítás. Ekkor ha valamilyen a és b elemek ugyanabban a baloldali mellékosztályban vannak, akkor a 4. állítás miatt egyúttal ugyanabban a jobboldali mellékosztályban is vannak – hiszen ezek ugye megegyeznek –, és ebben az esetben a 2. és 3. állítások bizonyításának „visszafele”-irányú gondolatmenete ugyanúgy működik. Megfordítva: ha teljesülnek a 2. és 3. állítások, akkor az iménti bizonyításban már megmutattuk, hogy teljesül a 4. állítás is.

25.6. Definíció (Normálosztó):

Legyen adva egy G csoport, valamint egy N részcsoport G-ben. Tegyük fel továbbá, hogy az N részcsoport szerinti bal- és jobboldali mellékosztályok megegyeznek, azaz minden a\in G esetén teljesül az alábbi:

Ekkor azt mondjuk, hogy az N részcsoport normálosztó G-ben. Ezt így jelöljük: N\triangleleft G.

Az a részcsoport, amely csak G egységeleméből áll, illetve maga a teljes G nyilvánvalóan normálosztók G-ben. Ezeket triviális normálosztóknak nevezzük.

Megjegyzés:

Figyelem! A definíció NEM azt mondja, hogy tetszőleges n\in N esetén a\cdot n=n\cdot a. EHELYETT mindössze annyit állít, hogyha elvégezzük a 18.19. Definíció szerint értelmezett aN és Na komplexusszorzásokat, akkor ugyanazt a két HALMAZT kapjuk eredményül. Ez az elemek szintjén pusztán annyit jelent, hogy minden n\in N-hez létezik olyan m_1 és m_2 elem az N részcsoportban, hogy egyrészt a\cdot n=m_1\cdot a, másrészt n\cdot a=a\cdot m_2.

Természetesen Abel-csoportok esetén (24.1. Definíció) a részcsoport és a normálosztó fogalma egybeesik, hiszen ezekben a csoportokban bármely g és h elemek esetén g\cdot h=h\cdot g teljesül.

25.7. Tétel:

Legyen G tetszőleges csoport, N pedig normálosztó G-ben. Tegyük fel továbbá, hogy a G csoport valamilyen a_1 és a_2 valamint b_1 és b_2 elemeire teljesülnek az alábbiak:

1. Az a_1 elem ugyanabban az N szerinti baloldali mellékosztályban van, mint az a_2 elem.
2. A b_1 elem ugyanabban az N szerinti baloldali mellékosztályban van, mint a b_2 elem.

Ekkor az a_1\cdot b_1 szorzat is ugyanabban az N szerinti baloldali mellékosztályban van, mint az a_2\cdot b_2 szorzat.

Minthogy a 25.6. Definíció alapján az N szerinti bal- és jobboldali mellékosztályok megegyeznek, ezért ugyanez az állítás természetesen a jobboldali mellékosztályokra is érvényes.

Bizonyítás:

Előzetesen felhívjuk az Olvasó figyelmét, hogy a bizonyítás leírásában a 18.19. Definícióban szereplő komplexusszorzást és a G csoport szorzásnak nevezett műveletét jelölésben is élesen meg fogjuk különböztetni egymástól, mivel ki szeretnénk hangsúlyozni, hogy nagyon nem ugyanarról van szó. Míg előbbit simán egymás után írással, addig utóbbit a \cdot szimbólummal fogjuk jelölni.

Egyrészt az 1. feltétel – miszerint a_1 ugyanabban az N szerinti baloldali mellékosztályban van, mint a_2 – a 24.7. Tétel alapján azt jelenti, hogy az a_1N és az a_2N halmazok megegyeznek, azaz:

Ehhez hasonlóan a 2. feltétel az alábbi halmazegyenlőséget jelenti:

Ezek alapján tehát azt kell bizonyítanunk, hogy az (a_1\cdot b_1)N és az (a_2\cdot b_2)N halmazok is megegyeznek. Az (a_1\cdot b_1)N halmaz elemeit ugye a 18.19. Definíció alapján úgy kapjuk meg, hogy az (a_1\cdot b_1)\cdot x kifejezésbe x helyére az N normálosztó összes elemét behelyettesítjük. Ez a kifejezés viszont a 24.1. Definíció alapján a csoportművelet asszociativitása miatt átzárójelezhető:

Ha most itt csak a zárójelben lévő kifejezést tekintjük, és ebbe helyettesítjük be N összes elemét, akkor tulajdonképpen a b_1N baloldali mellékosztályt, mint halmazt kapjuk. Ebből következően az (a_1\cdot b_1)N halmaz elemeit úgy is megkaphatjuk, hogy az a_1\cdot y kifejezésbe y helyére a b_1N baloldali mellékosztály elemeit helyettesítjük be. Vagyis fennáll az alábbi halmazegyenlőség:

A 2. feltételből következően viszont a b_1N halmaz megegyezik a b_2N halmazzal, ami viszont – lévén, hogy N normálosztó – a 25.6. Definíció alapján megegyezik az Nb_2 halmazzal, azaz:

Ennek a halmaznak az elemeit tehát úgy kapjuk meg, hogy az a_1\cdot y kifejezésbe y helyére az Nb_2 jobboldali mellékosztály elemeit helyettesítjük be, amelynek az elemeit viszont úgy kapjuk, hogy az x\cdot b_2 kifejezésbe x helyére az N normálosztó elemeit helyettesítjük be. Azaz lényegében az a_1\cdot (x\cdot b_2) kifejezésbe helyettesítettük be N elemeit, amely kifejezés viszont ismét az asszociativitás miatt átzárójelezhető, tehát ugyanazt a halmazt kapjuk, ha az (a_1\cdot x)\cdot b_2 kifejezésbe helyettesítjük be N elemeit.

Ha most itt ismét csak a zárójelben lévő kifejezést tekintjük, és ebbe helyettesítjük be N összes elemét, akkor tulajdonképpen az a_1N baloldali mellékosztályt, mint halmazt kapjuk. Ebből következően az a_1(Nb_2) halmaz elemeit úgy is megkaphatjuk, hogy az y\cdot b_2 kifejezésbe y helyére az a_1N baloldali mellékosztály elemeit helyettesítjük be. Vagyis a fenti halmazegyenlőségi sorozatot tovább folytathatjuk:

A 2. feltételből következően viszont az a_1N halmaz megegyezik az a_2N halmazzal, ami viszont – lévén, hogy N normálosztó – a 25.6. Definíció alapján megegyezik az Na_2 halmazzal, azaz:

A fenti, a csoportművelet asszociativitására építő gondolatmenetet megismételve ez viszont az N(a_2\cdot b_2) jobboldali mellékosztállyal lesz azonos, ami viszont meg fog egyezni az (a_2\cdot b_2)N baloldali mellékosztállyal, hiszen N ugye normálosztó:

Tehát valóban megkaptuk a tétel állítását, miszerint az (a_1\cdot b_1)N és az (a_2\cdot b_2)N baloldali mellékosztályok megegyeznek, vagy másként fogalmazva az a_1\cdot b_1 szorzat valóban ugyanabban a baloldali mellékosztályban van, mint az a_2\cdot b_2 szorzat.

25.8. Tétel (Faktorcsoport):

Legyen G egy tetszőleges csoport, és tegyük fel, hogy N normálosztó G-ben. Jelöljük G/N-nel azt a halmazt, amelynek elemei a 24.7. Tételben definiált N szerinti baloldali mellékosztályok.

Vezessük be ezek között az alábbi műveletet: Ha A=aN és B=bN két baloldali mellékosztály, akkor ezek szorzata legyen az A\odot B=(a\cdot b)N baloldali mellékosztály.

Ekkor a G/N halmaz ezzel a művelettel csoportot alkot, amelyet a G csoport N normálosztó szerinti faktorcsoportjának nevezünk.

Ha e_G jelöli a G csoport egységelemét, akkor a G/N faktorcsoport egységeleme az e_GN baloldali mellékosztály.

Ha a^{-1} jelöli a G csoport egy a elemének inverzét, akkor a G/N faktorcsoport aN elemének inverze az (a^{-1})N baloldali mellékosztály.

Ha G kommutatív csoport (vagy más néven Abel-csoport), akkor G/N is az.

Tekintsük továbbá azt az f:G\to G/N függvényt, amely minden G-beli a elemhez az aN baloldali mellékosztályt rendeli hozzá a G/N faktorcsoportból. Ekkor f egy csoporthomomorfizmus G és G/N között, melynek magja N. Ennek a neve természetes csoporthomomorfizmus.

Bizonyítás:

A 25.7. Tétel alapján a baloldali mellékosztályok közötti \odot műveletek jóldefiniáltak, azaz az eredményként kapott baloldali mellékosztály nem függ az a és b reprezentánselemek megválasztásától. Így G/N-re elegendő a 24.1. Definíció szerinti csoportaxiómákat ellenőrizni.

Az asszociativitási tulajdonság: Azt kell megmutatni, hogy tetszőleges A=aN, B=bN és C=cN baloldali mellékosztályok esetén teljesül az alábbi:

A \odot tételben szereplő definíciója alapján ez így írható fel az a, b és c reprezentánselemek segítségével:

A reprezentánselemek között viszont teljesül az asszociativitás, hiszen ők a G csoport elemei.

Egységelem létezése: A G/N faktorcsoportban kell egy olyan E baloldali mellékosztályt mutatni, amelyre tetszőleges A=aN baloldali mellékosztály esetén teljesül az alábbi:

Ha a G csoport egységeleme e_G, akkor az E=e_GN baloldali mellékosztály épp megfelelő lesz egységelemnek a G/N faktorcsoportban, hiszen:

Inverz elem létezése: Itt azt kell megmutatni, hogy amennyiben E=e_GN a G/N faktorcsoport egységeleme, úgy tetszőleges A=aN elemhez létezik olyan A^{-1}-gyel jelölt elem, amelyre teljesül az alábbi:

Az A^{-1}=(a^{-1})N baloldali mellékosztály épp megfelelő lesz inverz elemnek a G/N faktorcsoportban, hiszen:

A G/N halmaz tehát valóban csoportot alkot a tételben szereplő művelettel. Tegyük most fel, hogy G kommutatív, és legyen az A=aN valamint a B=bN két tetszőleges baloldali mellékosztály a G/N faktorcsoportban. Ekkor G kommutativitása miatt teljesül az alábbi, azaz G/N is valóban kommutatív:

Végezetül meg kell mutatni, hogy a tételben szereplő f:G\to G/N függvény egy csoporthomomorfizmus az eredeti és a G/N faktorcsoport között. Az f függvény tehát minden G-beli a elemhez az aN baloldali mellékosztályt rendeli hozzá. Tegyük fel, hogy g és h a G csoport tetszőleges elemei. Ekkor a művelettartó tulajdonság az alábbi alapján valóban teljesül:

Végül azt kell megmutatni, hogy f magja épp az N normálosztó. Egy tetszőleges G-beli g elemhez az f csoporthomomorfizmus pontosan akkor rendeli hozzá a G/N faktorcsoport egységelemét, azaz az e_GN baloldali mellékosztályt, ha f(g)=gN=e_GN. Minthogy N egy részcsoport G-ben (hiszen normálosztó), ezért a 24.5. Tétel 2. pontja alapján ő az, aki tartalmazza e_G-t, azaz e_GN=N. Az f(g)=e_GN tehát akkor és csak akkor teljesül, ha g benne van N-ben. Az N normálosztó tehát valóban magja az f csoporthomomorfizmusnak.

25.9. Következmény:

Legyen adva egy G csoport és annak egy N részhalmaza. Az N részhalmaz akkor és csak akkor magja egy valamilyen G-ből kiinduló csoporthomomorfizmusnak, ha normálosztó G-ben.

Bizonyítás:

Ha N magja egy csoporthomomorfizmusnak, akkor a 25.5. Tétel alapján normálosztó G-ben, azaz N\triangleleft G. Megfordítva: Ha N normálosztó G-ben, akkor a 25.8. Tétel alapján a G-ből kiinduló és a G/N faktorcsoportba mutató természetes csoporthomomorfizmusnak éppen N a magja.

25.10. Tétel (Csoportok homomorfizmustétele):

Legyenek G és H tetszőleges csoportok, valamint tegyük fel, hogy adva van egy f:G\to H csoporthomomorfizmus. Ekkor G/\ker f \simeq \text{im} f, azaz a G-ből képzett f magja szerinti faktorcsoport izomorf f képével.

Bizonyítás:

Előszöris megjegyezzük, hogy a 25.5. Tétel 4. pontja alapján \ker f normálosztó G-ben, így a baloldalon álló G/\ker f faktorcsoport valóban értelmes. Igaz továbbá, hogy a 25.4. Tétel alapján \text{im} f részcsoport abban a csoportban, ahová f mutat, így a tételben szereplő csoportizomorfia jobboldala is értelmes. Most megmutatjuk, hogy az izomorfia valóban teljesül.

Az átláthatóság érdekében vezessük be az N=\ker f jelölést. A G/N faktorcsoport elemei tehát az N=\ker f, mint normálosztó szerinti baloldali mellékosztályok. A 25.5. Tétel 2. pontja alapján minden ilyen baloldali mellékosztályban az ott lévő elemeknek ugyanaz lesz az f szerinti képe H-ban, tehát abban a csoportban, ahová f mutat.

Ez alapján definiálhatunk egy g:G/N\to \text{im} f leképezést a tételben szereplő faktorcsoport és az f csoporthomomorfizmus képe között. Ennek a leképezésnek a képletét a G csoport elemeinek és az f csoporthomomomorfizmusnak a segítségével adjuk meg. Az alábbi képlet azt fejezi ki, hogy minden a elem esetén a g leképezés az a elemet tartalmazó BALOLDALI MELLÉKOSZTÁLYhoz épp azt az elemet rendeli hozzá a H csoportból, amelyet az f csoporthomomorfizmus is hozzárendel magához az a ELEMhez:

Az alábbi ábra mutatja a g leképezés iménti konstrukcióját.

Ez egy értelmes leképezés, ha ugyanis valamely a és b elemek ugyanabban a baloldali mellékosztályban vannak, akkor a 25.5. Tétel 2. pontja alapján az ő f szerinti képük megegyezik. Így tehát a g leképezés eredménye nem függ attól, hogy a bemeneti baloldali mellékosztály mely reprezentánselemének segítségével számítottuk azt ki a fenti képlettel.

Most igazoljuk, hogy a g leképezés kölcsönösen egyértelmű. Előszöris azt mutatjuk meg, hogy két különböző baloldali mellékosztály g szerinti képe is különbözik. Tegyük fel ezért indirekt, hogy a G csoport a és b elemei két különböző baloldali mellékosztályban vannak, ám e két mellékosztálynak ennek ellenére ugyanaz a g szerinti képe, azaz g(aN)=g(bN). Ez a g leképezés definíciója alapján azt jelentené, hogy f(a)=f(b). De ez ellentmondás, hiszen ez azt jelentené, hogy a és b mégis ugyanabban a baloldali mellékosztályban van. Azt tehát már tudjuk, hogy a H-beli \text{im} f részcsoport minden eleme legfeljebb egy baloldali mellékosztálynak lehet a g szerinti képe, azaz g injektív.

A kölcsönös egyértelműséghez azt kell még igazolni, hogy \text{im} f-ben nincs olyan elem, amely ne lenne képe valamely baloldali mellékosztálynak a g függvény szerint (azaz, hogy g szürjektív). Ez viszont természetesen teljesül, hiszen \text{im} f nem más, mint az f csoporthomomorfizmus képe. Következésképp minden itt lévő a elemhez létezik olyan x elem a G csoportban, amelynek épp a a képe az f függvény szerint (azaz f(x)=a). Ez az x elem viszont benne van az xN baloldali mellékosztályban, amelyhez viszont a g függvény rendeli hozzá az a elemet H-ban. A g függvény tehát valóban kölcsönösen egyértelmű.

A g művelettartási tulajdonsága a fenti képletből már könnyen adódik. Felhívjuk az Olvasó figyelmét, hogy az alábbi levezetésben három különböző csoport is érintett, ennek megfelelően az ezekben értelmezett műveletek között jelölésbeli különbséget is tettünk. A G/N faktorcsoport műveletét a \odot, a G csoport műveletét a \cdot, míg a H csoport műveletét a \boxdot szimbólumokkal jelöltük:

Így tehát g valóban csoportizomorfizmus a G/N faktorcsoport és f képe között.

25.11. Definíció (Kép, teljes inverz kép):

Legyenek A és B tetszőleges halmazok, továbbá tegyük fel, hogy értelmezve van egy f:A\to B függvény, amely tehát az A halmaz minden eleméhez hozzárendel egy elemet a B halmazból.

Legyen adott egy C\sube A halmaz. Ekkor B-nek azt a – 19.7. Definíció szerinti értelemben vett – legszűkebb részhalmazát, amely minden C-beli elem f szerinti képét tartalmazza, a C halmaz f szerinti képének (vagy értékkészletének) nevezzük és f(C)-vel jelöljük. Ezt az elrendezést mutatja az alábbi ábra:

Legyen adott egy D\sube B halmaz. Ekkor A-nak azt a – 19.7. Definíció szerinti értelemben vett – legbővebb részhalmazát, amelynek f szerinti képe D, a D halmaz f szerinti teljes inverz képének nevezzük és f^{-1}(D)-vel jelöljük. Ezt az elrendezést mutatja az alábbi ábra:

Megjegyzés:

Vigyázat! Az f(C) kifejezés ebben az esetben nem valamiféle matematikai objektumot jelöl, amelyet az f függvény a C halmazhoz hozzárendel. Ehelyett azt a halmazt jelöli, amely pontosan a C-beli elemek f szerinti képeit tartalmazza. Ehhez hasonlóan az f^{-1}(D) nem egy olyan matematikai objektumot jelöl, amelyhez az f függvény épp a D halmazt rendeli hozzá. Ehelyett azt a halmazt jelöli, amely pontosan azokat az A-beli elemeket tartalmazza, amelyeknek f szerinti képe D-ben van.

A definícióból következik, hogy ha f^{-1}(D)=C teljesül, akkor f(C)=D is teljesül. Nyilván, hiszen a definíció szerint C is egy olyan részhalmaz A-ban, amelynek f szerinti képe D – történetesen a legbővebb.

Vigyázzunk azonban, ugyanis ez utóbbi állítás megfordítása nem igaz! Azaz f(C)=D-ből a C=f^{-1}(D) állítás még nem, csupán az ennél gyengébb C\sube f^{-1}(D) állítás következik. Elképzelhető ugyanis, hogy létezik egy C-nél bővebb E\sube A halmaz is, amelynek szintén D a képe. Ezt a szitációt mutatja az alábbi ábra:

Végül megjegyezzük, hogy az f(C) halmaz tetszőleges C esetén létezik, mivel az f egy függvény, amely A minden eleméhez, és így speciálisan az összes C-beli elemhez is szükségképpen hozzárendel valamit a B halmazból. Így f(C) legrosszabb esetben legalább egy elemet mindenképpen tartalmaz – kivéve persze ha C az üreshalmaz, amikoris f(C) is az üreshalmaz.

Ezzel szemben az f^{-1}(D) teljes inverz kép adott D esetén nem biztos, hogy létezik. Sőt, még csak az sem biztos, hogy létezik egyáltalán olyan részhalmaz A-ban, amelynek D az f szerinti képe. Elképzelhető ugyanis, hogy D-ben van olyan elem, amely egyetlen A-beli elemhez sincs hozzárendelve. Természetesen most is igaz, hogy ha D az üreshalmaz, akkor f^{-1}(D) létezik, és szintén az üreshalmaz.

25.12. Tétel:

Legyenek G és H tetszőleges csoportok, f:G\to H pedig egy csoporthomomorfizmus e két csoport között. Ekkor tetszőleges K\leq G esetén f(K)\leq H, azaz G minden részcsoportjának f szerinti képe részcsoport H-ban.

Bizonyítás:

Az f(K) halmaz a 25.11. Definíció alapján nyilván részhalmaza H-nak, ezért csak a 24.5. Tétel feltételeinek teljesülését kell ellenőrizni f(K)-ra.

1. feltétel: f(K) zárt a H csoport műveletére nézve

Legyenek a és b az f(K) halmaz két tetszőleges eleme. A 25.11. Definíció alapján minden f(K)-beli elemhez létezik olyan elem K-ban, amelynek épp ő az f szerinti képe. Így a-hoz és b-hez is léteznek olyan x_a\in K és x_b\in K elemek, amelyekre teljesülnek az alábbiak:

Ám ekkor – mivel K részcsoport G-ben – a 24.5. Tétel 1. pontja alapján az x_ax_b szorzat is benne van K-ban. Ez viszont ugyancsak a 25.11. Definíció alapján azt jelenti, hogy e szorzat f szerinti képe viszont benne van f(K)-ban, azaz:

Mivel azonban f csoporthomomorfizmus, ezért igaz az alábbi:

Tehát az a és b elemek szorzata is f(K)-ban van, ami így valóban zárt a H csoport műveletére nézve.

2. feltétel: f(K) tartalmazza a H csoport egységelemét

Mivel K részcsoport G-ben, ezért a 24.5. Tétel 2. pontja alapján tartalmazza G egységelemét, amelyet most jelöljünk e_G-vel. A 25.2. Lemma 1. pontja szerint az e_G egységelem f szerinti képe a H csoport egységeleme, amelyet most jelöljünk e_H-val. De mivel e_H egy K-beli elem – nevezetesen e_G – képe, ezért a 25.11. Definíció szerint szükségképpen benne van f(K)-ban.

3. feltétel: f(K) zárt a H-beli inverzképzésre

Legyen a az f(K) halmaz tetszőleges eleme. A 25.11. Definíció alapján minden f(K)-beli elemhez létezik olyan elem K-ban, amelynek épp ő az f szerinti képe. Így a-hoz is létezik olyan x_a\in K elem, amelyre teljesül az alábbi:

Ám ekkor – mivel K részcsoport G-ben – a 24.5. Tétel 3. pontja alapján az x_a^{-1} inverz is benne van K-ban. Ez viszont ugyancsak a 25.11. Definíció alapján azt jelenti, hogy ennek f szerinti képe viszont benne van f(K)-ban, azaz:

Mivel azonban f csoporthomomorfizmus, ezért a 25.2. Lemma 2. pontja igaz az alábbi:

Tehát az a elem H-beli inverze is f(K)-ban van, ami így valóban zárt a H-beli inverzképzésre nézve.

25.13. Tétel:

Legyenek G és H tetszőleges csoportok, f:G\to H pedig egy csoporthomomorfizmus e két csoport között. Ekkor tetszőleges L\leq H esetén f^{-1}(L)\leq G és \ker f\sube f^{-1}(L) – amennyiben persze létezik az f^{-1}(L) teljes inverz kép (lásd a 25.11. Definíció utáni megjegyzést).

Szavakkal: H minden részcsoportjának f szerinti teljes inverz képe – amennyiben egyáltalán létezik – egy olyan részcsoport G-ben, amely tartalmazza f magját.

Bizonyítás:

Tegyük fel tehát, hogy L-nek létezik teljes inverz képe G-ben – hiszen a tétel úgyis csak ezekről az esetekről nyilatkozik –, és vezessük be a K=f^{-1}(L) jelölést. A K halmaz a 25.11. Definíció alapján nyilván részhalmaza G-nek. Ezért csak a 24.5. Tétel feltételeinek teljesülését kell ellenőrizni K-ra, továbbá igazolni a \ker f\sube K tartalmazást.

1. feltétel: K zárt a G csoport műveletére nézve

Legyenek a és b a K halmaz két tetszőleges eleme. Mivel K=f^{-1}(L), ezért a 25.11. Definíció utáni megjegyzés alapján f(K)=L, és így ugyanezen definíció alapján f(a) és f(b) is benne van L-ben. Ekkor azonban a 24.5. Tétel 1. pontja miatt az ő f(a)\cdot f(b) szorzatuk is L-ben van, hiszen a tétel szövege alapján L részcsoport H-ban, azaz zárt a H-beli műveletre nézve. Ez a szorzat azonban f művelettartó tulajdonsága alapján átírható az alábbi módon:

Vagyis az ab szorzat f szerinti képe L-ben van. Mivel azonban K=f^{-1}(L), ezért ez a 25.11. Definíció szerint azt is jelenti, hogy az ab szorzat csak K-ban lehet. A K halmaz tehát valóban zárt a G-beli műveletre nézve.

2. feltétel: K tartalmazza a G csoport egységelemét

Mivel L részcsoport H-ban, ezért a 24.5. Tétel 2. pontja miatt tartalmazza annak egységelemét, amelyet most jelöljünk e_H-val. A 25.2. Lemma 1. pontja alapján azonban tudjuk, hogy a G csoport egységelemének – amelyet most jelöljünk e_G-vel – f szerinti képe e_H, azaz f(e_G)=e_H. Mivel azonban K az L halmaz f szerinti teljes inverz képe, ezért a 25.11. Definíció miatt e_G csak K-ban lehet. Így tehát K valóban tartalmazza a G csoport egységelemét.

3. feltétel: K zárt a G-beli inverzképzésre

Legyen a tetszőleges K-beli elem. Ekkor az 1. feltétel bizonyításánál már látott f(K)=L miatt f(a) benne van L-ben. Mivel azonban L részcsoport H-ban, így a 24.5. Tétel 3. pontja miatt az (f(a))^{-1} inverz is benne van L-ben. A 25.2. Lemma 2. pontja alapján azonban tudjuk, hogy f tartja a G-beli inverzképzést, így teljesül az alábbi:

Vagyis az a^{-1} inverz f szerinti képe L-ben van. Mivel azonban K=f^{-1}(L), ezért ez a 25.11. Definíció szerint azt is jelenti, hogy maga az a^{-1} inverz csak K-ban lehet. A K halmaz tehát valóban zárt a G-beli inverzképzésre nézve.

Végül a \ker f\sube K tartalmazást igazoljuk.

Legyen a tetszőleges elem f magjában, azaz a\in \ker f. Azt kell megmutatni, hogy ekkor a\in K is teljesül. Mivel a benne van f magjában, így az ő f szerinti képe a H csoport egységeleme, amelyet jelöljünk továbbra is e_H-val. Azaz:

Az e_H-ról azonban tudjuk, hogy benne van L-ben, hiszen L ugye részcsoport H-ban. Mivel azonban e_H az a elem f szerinti képe, ezért f^{-1}(L)=K miatt a 25.11. Definíció alapján maga a szükségképpen benne van K-ban.

25.14. Tétel (Csoporthomomorfizmusok struktúratartó tulajdonságai):

Legyenek G és H tetszőleges csoportok, f:G\to H pedig egy szürjektív csoporthomomorfizmus e két csoport között, és vezessük be az N=\ker f jelölést. Ekkor teljesülnek az alábbiak:

1. A H részcsoportjai kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésben állnak G azon részcsoportjaival, amelyek N-et teljes egészében tartalmazzák. Egy L\leq H részcsoporthoz az f^{-1}(L) teljes inverz kép, mint G-beli, N-et tartalmazó részcsoport tartozik. A továbbiakban legyenek K\leq G és L\leq H ebben az értelemben egymásnak megfelelő részcsoportok.
2. A K szerinti baloldali mellékosztályok az L szerinti baloldali mellékosztályok teljes inverz képei f szerint, és ez a megfeleltetés szintén kölcsönösen egyértelmű.
3. Ugyanez mondható el a jobboldali mellékosztályokról is.
4. Az L részcsoport akkor és csak akkor normálosztó H-ban, ha K normálosztó G-ben, és ilyenkor a G/K és H/L faktorcsoportok izomorfak.

Bizonyítás:

Az 1. állítás: Itt tulajdonképpen két halmazrendszer (lásd a 19.5. Definíciót) elemei között kell kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesíteni. Az első halmazrendszer tehát a G csoport azon részcsoportjaiból áll, amelyek tartalmazzák N-t, mint az f csoporthomomorfizmus magját. Ezt jelöljük \mathcal{G}-vel. A második halmazrendszer pedig H összes részcsoportjaiból áll. Ezt jelöljük \mathcal{H}-val.

A 25.12. Tételben már láttuk, hogy tetszőleges G-beli K részcsoport f szerinti képe részcsoport H-ban, azaz f(K)\leq H. A 25.11. Definíció alapján f(K) a legszűkebb olyan részcsoport H-ban, amely K minden elemének képét tartalmazza, és így a 19.8. Tétel értelmében f(K) egyértelműen meghatározott. Mindez természetesen speciálisan igaz az N-et tartalmazó G-beli részcsoportokra is. Az a leképezés tehát, amely tetszőleges K\in \mathcal{G} részcsoportból képzi az f(K)\in \mathcal{H} részcsoportot, tekinthető egy \mathcal{G}-ből \mathcal{H}-ba mutató függvénynek is.

Visszafelé: Mivel f most szürjektív csoporthomomorfizmus, ezért minden H-beli elem legalább egy G-beli elem képe, és így H tetszőleges L részcsoportjának létezik teljes inverz képe G-ben (vesd össze a 25.11. Definíció utáni megjegyzéssel). A 25.13. Tétel alapján ez a bizonyos f^{-1}(L)-lel jelölt teljes inverz kép részcsoport G-ben. Ezenkívül f^{-1}(L) a legbővebb olyan részcsoport, amelynek minden elemének képe L-ben van, és így egyrészt a 19.8. Tétel értelmében egyértelműen meghatározott. Másrészt pedig mivel L tartalmazza H egységelemét – hiszen részcsoport H-ban –, ezért f^{-1}(L) szükségképpen tartalmaz minden olyan G-beli elemet, amelyek erre az egységelemre képződnek. Ezek viszont épp az N homomorfizmus-magot alkotják, azaz f^{-1}(L) tartalmazza N-et, és így benne van a \mathcal{G} halmazrendszerben. Így tehát az előző gondolatmenethez hasonlóan a teljes inverz kép képzése tekinthető egy \mathcal{H}-ból \mathcal{G}-be mutató függvénynek.

Most már tehát van egy g:\mathcal{G}\to \mathcal{H}, valamint egy h:\mathcal{H}\to \mathcal{G} függvényünk a két halmazrendszer között. A kölcsönösen egyértelműséghez azt kell megmutatni, hogy e két függvény épp egymás megfordítása. Ez azt jelenti, hogy bármilyen sorrendben is alkalmazzuk őket egymás után, pontosan a kiinduló részcsoportot kell kapnunk eredményül. Azaz tetszőleges K\in \mathcal{G} és L\in \mathcal{H} esetén igazolnunk kell az alábbi hozzárendelések érvényességét:

A második megfeleltetés nyilvánvalóan teljesül, hiszen a 25.11. Definíció utáni megjegyzés alapján tetszőleges L\in \mathcal{H} részcsoport teljes inverz képének képe maga L.

Ezzel szemben az első megfeleltetés igazolásánál egy picit nehezebb dolgunk van, ugyanis a 25.11. Definíció utáni megjegyzés szerint alapból nem mindig teljesül, hogy tetszőleges K\leq G részcsoport képének teljes inverz képe maga K. Most viszont tudjuk, hogy K\in \mathcal{G}, azaz ő nem akármilyen részcsoport, hanem olyan, amely tartalmazza az f csoporthomomorfizmus N-nel jelölt magját. Vezessük be az L=f(K) jelölést. Ezek után azt kell tehát megmutatni, hogy ebben a speciális esetben mégis fennáll a K=f^{-1}(L) halmazegyenlőség, ami a 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján azt jelenti, hogy e két halmaz kölcsönösen tartalmazza egymást.

A K\sube f^{-1}(L) tartalmazás a 25.11. Definíció utáni megjegyzésből következik, hiszen f(K)=L, amiből e megjegyzés alapján K\sube f^{-1}(L) következik.

Most nézzük az f^{-1}(L)\sube K tartalmazást. Legyen a az f^{-1}(L) tetszőleges eleme. Ekkor egyrészt a 25.11. Definíció alapján az a elem f szerinti képe benne van L-ben, azaz f(a)\in L. Másrészt L=f(K) miatt a 25.11. Definíció alapján minden L-beli elem legalább egy K-beli elemnek a képe. Ez speciálisan igaz az f(a)\in L elemre is, azaz léteznie kell K-ban egy olyan k elemnek, amelyre f(k)=f(a) teljesül.

Ez viszont a 25.5. Tétel 2. pontja alapján azt jelenti, hogy a ugyanabban az N szerinti baloldali mellékosztályban van, mint k, azaz a\in kN. Ezek szerint létezik olyan n\in N, hogy a=k\cdot n. Most viszont tudjuk, hogy N\sube K, így ez a bizonyos n benne van egyúttal a K részcsoportban is, következésképp az a=k\cdot n szorzat is benne van K-ban, hiszen ő zárt a szorzásra nézve. Vagyis valóban teljesül az f^{-1}(L)\sube K tartalmazás, és így az f^{-1}(L)=K halmazegyenlőség is.

A 2. állítás: Az 1. állításhoz hasonlóan itt is két halmazrendszer elemei között kell kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesíteni. Az első halmazrendszer tehát a K\leq G részcsoport szerinti baloldali mellékosztályokból áll. Ezt jelöljük \mathcal{K}-val. A második halmazrendszer pedig az L\leq H részcsoport szerinti baloldali mellékosztályokból áll. Ezt jelöljük \mathcal{L}-lel. Mutatnunk kell egy \mathcal{K} és \mathcal{L} közötti kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést. Ehhez azt a 24.7. Tételben szereplő ekvivalenciarelációt fogjuk használni, amely a baloldali mellékosztályokat kijelöli a G és a H csoportokban.

Legyen ezért a és b két tetszőleges elem G-ben. Ez a két elem a 24.7. Tétel szerint akkor és csak akkor van ugyanabban a K részcsoport szerinti mellékosztályban, ha az a^{-1}b szorzat benne van magában a K részcsoportban. Minthogy a K részcsoport az L részcsoport teljes inverz képe, ezért az a^{-1}b szorzat akkor és csak akkor van benne K-ban, ha f(a^{-1}b) benne van L-ben. Az f csoporthomomorfizmus művelet- és inverzképzéstartó tulajdonságai miatt az f(a^{-1}b)\in L állítás ekvivalens az (f(a))^{-1}f(b)\in L állítással. Ez viszont szintén a 24.7. Tétel alapján akkor és csak akkor teljesül, ha f(a) ugyanabban az L részcsoport szerinti baloldali mellékosztályban van, mint f(b).

Egyrészt tehát azt kaptuk, hogy egy adott K szerinti baloldali mellékosztály összes elemének ugyanabban az L szerinti baloldali mellékosztályban lesz az f szerinti képe. Az f csoporthomomorfizmus tehát ilymódon minden \mathcal{K}-beli baloldali mellékosztályhoz egyértelműen kijelöl egy \mathcal{L}-beli baloldali mellékosztályt. Ez tekinthető egy k:\mathcal{K} \to \mathcal{L} függvénynek is. Ha például g\in G egy tetszőleges elem, akkor ez a függvény a gK baloldali mellékosztályhoz az f(gK) halmazt rendeli hozzá, amely tehát épp az f(g)L baloldali mellékosztály lesz, azaz k(gK)=f(g)L.

Továbbá a k függvényről elmondható, hogy injektív, hiszen azt is megkaptuk, hogy különböző K szerinti baloldali mellékosztályba eső elemek f szerinti képei különböző L szerinti baloldali mellékosztályokban lesznek. Ha tehát valamilyen a és b elemek esetén k(aK)=k(bK), akkor ebből aK=bK következik. Ez egyben azt is jelenti, hogy a K szerinti mellékosztályok a hozzájuk tartozó L szerinti mellékosztályoknak valóban a teljes inverz képei.

Végül a k függvény szürjektív is. Ugyanis a tétel szövege alapján az f csoporthomomorfizmus is az, és így bármely h\in H elemhez van olyan g\in G, amelyre f(g)=h teljesül. Így viszont a hL=f(g)L baloldali mellékosztályt épp a gK baloldali mellékosztályhoz rendeli hozzá a k függvény. Vagyis valóban minden L szerinti mellékosztály párja valamelyik K szerinti mellékosztálynak, és így k egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés.

A 3. állítás: Ugyanígy igazolható, csak ekkor a 24.7. Tételben szereplő másik ekvivalenciarelációt kell használni, amely a jobboldali mellékosztályokat jelöli ki.

A 4. állítás: Tegyük fel, hogy K normálosztó G-ben. Ez a 25.6. Definíció alapján azt jelenti, hogy a K szerinti bal- és jobboldali mellékosztályok megegyeznek, azaz tetszőleges g\in G esetén gK=Kg. Ám ekkor a 2. és 3. állítás bizonyításában szereplő k megfeleltetés őhozzájuk az f(g)L=Lf(g) mellékosztályokat rendeli, amelyek szintén megegyeznek. A k függvény szürjektivitása miatt ilymódon minden L szerinti baloldali mellékosztályról megkaptuk, hogy megegyezik a megfelelő jobboldali mellékosztállyal, azaz L is normálosztó H-ban.

Most tegyük fel, hogy K nem normálosztó G-ben. Azaz létezik olyan g\in G, hogy gK\neq Kg. Ekkor viszont f(g)L\neq Lf(g) is igaz, máskülönben az ő teljes inverz képük, azaz gK és Kg mégiscsak megegyezne. Így tehát L sem normálosztó H-ban.

Végül tegyük fel, hogy K és L normálosztók, és tekintsük a G/K és a H/L faktorcsoportokat. Ezek elemei rendere a K és az L szerinti bal- illetve a velük megegyező jobboldali mellékosztályok. A 2. és 3. állítás bizonyításában szereplő, közöttük lévő k megfeleltetésről már láttuk, hogy kölcsönösen egyértelmű, ezért már csak azt kell megmutatni, hogy művelettartó is. Legyen tehát aK és bK két tetszőleges baloldali mellékosztály a G/K faktorcsoportban. Azt kell megmutatni, hogy az ő k szerinti megfelelőik szorzata a H/L faktorcsoportban ugyanaz, mint a G/K faktorcsoportban vett szorzatuk k szerinti megfelelője.

Az egyértelműség érdekében az alábbiakban a különböző csoportok műveleteit különböző szimbólumokkal jelöltük. Így \odot jelöli a G/K faktorcsoport, \boxdot a H/L faktorcsoport, \cdot a G csoport, végül \bullet a H csoport szorzását:

Mindkét esetben azonos végeredményt kaptunk, tehát a k leképezés művelettartó, és így valóban egy izomorfizmus a G/K és H/L faktorcsoportok között.

25.15. Tétel (Csoportok direkt szorzata, szorzatcsoport):

Legyenek G_1, G_2, ..., G_n tetszőleges csoportok, és értelmezzünk egy műveletet a G_1\times G_2\times \ldots \times G_n halmaz tetszőleges (g_1;g_2;\ldots;g_n) és (h_1;h_2;\ldots;h_n) elemei között az alábbi módon:

Azaz a \odot műveletet úgy kell elvégezni, hogy az azonos pozícióban lévő komponensek szorzatait képezzük a megfelelő csoportokban.

Ekkor a G_1\times G_2\times \ldots \times G_n halmaz szintén egy csoportot alkot ezzel a művelettel. Ezt a csoportot a G_1, G_2, ..., G_n csoportok direkt szorzatának, vagy szorzatcsoportjának nevezzük.

A szorzatcsoport egységeleme egy olyan rendezett n-es, amelynek minden komponensében a megfelelő csoport egységeleme áll. Azaz:

A szorzatcsoport egy tetszőleges (g_1;g_2;\ldots;g_n) elemének (g_1;g_2;\ldots;g_n)^{-1}-gyel jelölt inverzét úgy kapjuk meg, hogy vesszük minden komponens inverzét a megfelelő csoportban. Azaz:

Bizonyítás:

A 24.1. Definícióban felsorolt csoportaxiómákat kell ellenőrizni:

A \odot művelet asszociativitása könnyedén adódik a G_1, G_2, ..., G_n csoportokon értelmezett műveletek ugyanezen tulajdonságából:

Most igazoljuk az egységelemre vonatkozó állítást. Legyen (g_1;\ldots;g_n) a G_1\times \ldots \times G_n halmaz egy tetszőleges eleme. Ezt az (e_{G_1};\ldots;e_{G_n}) elemmel összeszorozva bármely oldalról az eredmény valóban nem változik, hiszen minden komponensben a megfelelő csoport egységelemével való szorzás fog szerepelni. Az alábbiakban a jobbról való szorzás esetét igazoltuk, a másik irányú szorzás esete ehhez nagyon hasonló:

Ehhez hasonlóan igazoljuk az inverzképzésre vonatkozó állítást is. A (g_1;\ldots;g_n) elemet a (g_1^{-1};\ldots;g_n^{-1}) elemmel jobbról szorozva az eredmény valóban az (e_{G_1};\ldots;e_{G_n}) elem lesz, hiszen minden komponensben az adott komponens és annak a megfelelő csoportban vett inverzével való jobbról szorzás fog szerepelni:

A (g_1^{-1};\ldots;g_n^{-1}) elemmel való balról szorzás esete ehhez nagyon hasonlóan igazolható.

25.16. Tétel:

Egy G csoport valamely N részcsoportja akkor és csak akkor normálosztó, ha minden n\in N és g\in G esetén a gng^{-1} szorzat benne van N-ben.

Az állítás a g^{-1}ng szorzatra is ugyanígy kimondható.

Bizonyítás:

Ha N normálosztó, akkor az a 25.6. Definíció alapján azt jelenti, hogy az N szerinti bal- és jobboldali mellékosztályok megegyeznek. Ez az említett definíció utáni megjegyzés alapján az elemek szintjén azt jelenti, hogy tetszőleges g\in G és n\in N esetén létezik olyan m_1\in N és m_2\in N, hogy teljesülnek az alábbiak:

Az első egyenletet jobbról, a másodikat pedig balról szorozva g^{-1}-gyel az alábbiakat kapjuk:

Vagyis a gng^{-1} és a g^{-1}ng szorzatok valóban benne vannak N-ben, hiszen előbbi m_1-gyel, utóbbi pedig m_2-vel egyezik meg.

Megfordítva: Tegyük fel, hogy minden g\in G és n\in N esetén a gng^{-1} szorzat benne van N-ben. Ez természetesen g inverzére is igaz, azaz g^{-1}n(g^{-1})^{-1}=g^{-1}ng is benne van N-ben. Léteznek tehát olyan m_1 és m_2 elemek N-ben, hogy teljesülnek az alábbiak:

Az első egyenletet jobbról, a másodikat pedig balról szorozva g-vel az alábbiakat kapjuk:

Ez a 25.6. Definíció utáni megjegyzés alapján épp azt jelenti, hogy az N szerinti bal- és jobboldali mellékosztályok megegyeznek, azaz N valóban normálosztó.

25.17. Tétel:

Legyen G egy tetszőleges csoport, valamint legyen \mathcal{H} egy olyan G feletti halmazrendszer, amely G valahány – akár végtelen számú – részcsoportját tartalmazza elemként. Ekkor a \mathcal{H}-ban lévő halmazok metszete is részcsoport G-ben.

Ehhez hasonlóan ha \mathcal{N} egy olyan halmazrendszer, amely G valahány – akár végtelen számú – normálosztóját tartalmazza elemként, akkor az \mathcal{N}-ben lévő halmazok metszete is normálosztó G-ben.

Bizonyítás:

Nézzük először a részcsoportok metszetére vonatkozó állítást! Jelöljük H-val a \mathcal{H} halmazrendszerben lévő részcsoportok metszetét. Azt kell megmutatni, hogy H részcsoport G-ben. Ez a 24.5. Tétel szerint pontosan akkor teljesül, ha H zárt a G-beli műveletre és inverzképzésre nézve, valamint tartalmazza G egységelemét.

Mivel \mathcal{H} minden eleme részcsoport, így a 24.5. Tétel miatt mindegyik tartalmazza G egységelemét, amely tehát valóban benne van ezek metszetében, azaz H-ban.

Legyen most x a H halmaz egy tetszőleges eleme. Mivel H a \mathcal{H}-beli részcsoportok metszete, így x e részcsoportok mindegyikének szintén eleme, amelyek viszont ismét a 24.5. Tétel miatt zártak az inverzképzésre. Így x^{-1} is eleme az összes \mathcal{H}-beli részcsoportnak, vagyis valóban benne van ezek metszetében, azaz H-ban.

Végül legyen x és y a H halmaz két tetszőleges eleme. Mivel H a \mathcal{H}-beli részcsoportok metszete, így x és y e részcsoportok mindegyikének szintén eleme, amelyek viszont ismét a 24.5. Tétel miatt zártak a G-beli műveletre nézve. Így az xy szorzat is eleme az összes \mathcal{H}-beli részcsoportnak, vagyis valóban benne van ezek metszetében, azaz H-ban. A H halmaz tehát valóban részcsoport G-ben, ahogyan a tétel állítja.

Most nézzük a normálosztók metszetére vonatkozó állítást! Jelöljük N-nel az \mathcal{N} halmazrendszerben lévő normálosztók metszetét. Azt kell megmutatni, hogy N normálosztó G-ben. Ez a 25.16. Tétel szerint azt jelenti, hogy egyrészt N részcsoport G-ben, másrészt minden n\in N és g\in G esetén a gng^{-1} szorzat benne van N-ben. Minthogy \mathcal{N} minden eleme részcsoport G-ben (hiszen normálosztó), ezért ezek metszete, azaz N is részcsoport G-ben. Elegendő tehát csak a második feltételt ellenőrizni.

Legyen g tetszőleges G-beli, n pedig tetszőleges N-beli elem. Mivel N az \mathcal{N} halmazrendszerben lévő halmazok metszete, ezért \mathcal{N} minden eleme szintén tartalmazza n-et. Továbbá mivel ezek normálosztók, ezért a 25.16. Tétel alapján a gng^{-1} szorzat mindegyiküknek eleme. Ám ekkor ezek metszetének, azaz N-nek is eleme a gng^{-1} szorzat. Ez viszont ismét a 25.16. Tétel alapján azt jelenti, hogy N is normálosztó G-ben.

25.18. Tétel (Generált részcsoport és normálosztó):

Legyen G egy tetszőleges csoport, továbbá X a G csoportnak egy tetszőleges részhalmaza. Jelöljük \mathcal{X}-szel azt a G fölötti halmazrendszert, amelynek elemei pontosan azok a részcsoportok G-ben, amelyek tartalmazzák X-et.

Ekkor \mathcal{X}-ben létezik pontosan egy legszűkebb elem, amelyet az X által generált részcsoportnak nevezünk, és \lang X\rang-szel jelölünk.

Ugyanilyen értelemben beszélhetünk az X által generált normálosztóról is.

Bizonyítás:

A 19.8. Tétel alapján egy halmazrendszerben legfeljebb egy legszűkebb elem létezhet. Így elegendő megmutatni, hogy létezik legszűkebb elem, az ugyanis garantáltan az egyetlen legszűkebb elem lesz.

Mivel X a G csoport tetszőleges részhalmaza lehet, ezért előszöris kérdés, hogy létezik-e egyáltalán olyan részcsoport, amely tartalmazza X-et? Erre természetesen igen a válasz, hiszen „legrosszabb esetben” maga a teljes G egy ilyen részcsoport. Az \mathcal{X} halmazrendszer tehát biztosan nem üres.

Most képezzük az \mathcal{X} halmazrendszer összes elemének metszetét, és jelöljük ezt a halmazt H-val. Minthogy \mathcal{X} elemei részcsoportok G-ben, így a 25.17. Tétel alapján H is részcsoport G-ben. Továbbá az X-ről azt mondtuk, hogy ő részhalmaza minden \mathcal{X}-beli részcsoportnak, emiatt részhalmaza ezek metszetének, azaz H-nak is.

Ez viszont azt jelenti, hogy H maga is az \mathcal{X} halmazrendszer eleme, hiszen ő is egy X-et tartalmazó részcsoport G-ben. Ráadásul mivel ő a metszete \mathcal{X} összes elemének, ezért egyben részhalmaza is azoknak. Másként fogalmazva bármilyen K\in \mathcal{X} részcsoportra teljesül, hogy H\sube K. Ez a 19.7. Definíció szerint viszont épp azt jelenti, hogy H nem más, mint az \mathcal{X} halmazrendszer legszűkebb eleme. Más szavakkal H a legszűkebb olyan részcsoport G-ben, amely tartalmazza az X részhalmazt, azaz a tételbeli jelölést használva H=\lang X\rang.

A legszűkebb X-et tartalmazó normálosztó létezésére és egyértelműségére vonatkozó állítás a fentiekhez teljesen hasonló módon igazolható.

25.19. Definíció (Ciklikus csoportok):

Legyen G tetszőleges csoport, H pedig valamilyen részcsoport G-ben. Amennyiben G-ben létezik olyan g elem, hogy az egyelemű X=\{g\} halmaz generálja H-t – azaz \lang X\rang = H –, akkor azt mondjuk, hogy H ciklikus részcsoport G-ben, amelynek generátoreleme (vagy primitív eleme) g.

Amennyiben maga a teljes G – mint triviális részcsoport – generálható egyetlen elemmel, akkor G-t ciklikus csoportnak nevezzük.

Megjegyzés:

Az, hogy G ciklikus, amelynek generátoreleme g, pontosan azt jelenti, hogy G összes eleme kifejezhető ennek az egyetlen g elemnek az egész kitevős hatványaiként (lásd a 24.9. Definíciót). A G csoport e egységeleme és g inverze ugyanis a 24.9. Definíció alapján g-nek rendre a nulladik és a -1-edik hatványaként írható fel, továbbá minden egyéb elem kifejezhető a g valamint a g^{-1} elemek valamilyen sorrendben felírt szorzataként – máskülönben g nem lenne generátorelem. Például:

Egy ilyen szorzatban az egymás mellett álló g és g^{-1} tényezők nyilván elhagyhatók. Vagyis végeredményben vagy magát az egységelemet, vagy egy olyan szorzatot kapunk, amely már csak g vagy csak g^{-1} tényezőket tartalmaz. A 24.9. Definíció alapján a végeredmény tehát első esetben g^0-ként, míg második esetben g^n-ként írható fel valamilyen pozitív vagy negatív n kitevővel.

Ebből az is következik, hogy minden G ciklikus csoport Abel-csoport. Legyenek ugyanis a és b a G csoport tetszőleges elemei. Mivel G ciklikus, ezért a és b felírhatók valamilyen g\in G generátorelem egész kitevős hatványaiként:

Ám ekkor e két elem szorzata a 24.10. Tétel 3. pontja alapján felcserélhető, hiszen:

25.20. Tétel:

A \Z^+ additív csoport továbbá tetszőleges m\geq 0 esetén a (\Z/m\Z)^+ additív csoportok ciklikus csoportok. Előbbi generátoreleme az 1 egész szám, utóbbi generátoreleme pedig az [1]_m maradékosztály.

Bizonyítás:

Mivel a \Z^+ és a (\Z/m\Z)^+ csoportok esetén a csoportműveletet + jelöli, ezért a 24.1. Definíciónak megfelelően az „egységelem” és „inverz” helyett a „nullelem” és „ellentett” kifejezéseket használjuk, továbbá a 24.9. Definíció utáni megjegyzés alapján a szokásos x^n helyett az nx írásmódot követjük és hatvány helyett többszörösről beszélünk.

A \Z^+ csoportban az 1 egész szám ellentettje a -1 egész szám. A pozitív egész számok ennek megfelelően n1, míg a negatív számok n(-1) alakban fejezhetők ki. Végül a 0 egész szám a \Z^+ csoport nulleleme, így a 24.9. Definíció alapján ő 0\cdot 1-ként fejezhető ki, mint az 1 egész szám többszöröse. A \Z^+ csoport tehát valóban ciklikus, melynek generátoreleme 1.

Ehhez hasonlóan a (\Z/m\Z)^+ csoportban az [1]_m maradékosztály ellentettje a [-1]_n maradékosztály. Ebben a csoportban a + műveletet a 20.5. Tételben leírtaknak megfelelően a reprezentánselemeken kell elvégezni. Így az n[1]_m többszörös tulajdonképpen az [n1]_m maradékosztály lesz, ahol n1 a fentiekhez hasonlóan az 1 egész szám valamilyen többszörösét jelöli. Minthogy fentebb már bizonyítottuk, hogy bármely egész szám felírható az 1 többszöröseként – hiszen ugye \Z^+ ciklikus – ezért ez azt jelenti, hogy az [1]_m maradékosztály többszöröseiként is minden létező modulo m maradékosztályt megkaphatunk. A (\Z/m\Z)^+ csoport tehát valóban ciklikus, melynek generátoreleme az [1]_m maradékosztály.

25.21. Lemma:

Legyenek G és H tetszőleges csoportok, továbbá legyen adott egy f:G\to H szürjektív csoporthomomorfizmus. Ebben az esetben ha G ciklikus, melynek generátoreleme g, akkor H is ciklikus, melynek generátoreleme f(g).

Bizonyítás:

Azt kell megmutatni, hogy f(g) valóban H generátoreleme. Legyen ezért h a H csoport tetszőleges eleme. Mivel az f csoporthomomorfizmus szürjektív, ezért biztosan létezik olyan x elem G-ben, amelynek épp h az f szerinti képe, azaz:

Mivel G ciklikus, ezért ez a bizonyos x kifejezhető a g generátorelem egész kitevős hatványaként, azaz létezik olyan n egész szám, hogy teljesül az alábbi:

Ha n pozitív, akkor ez a kifejezés a 24.9. Definíció alapján így írható fel:

Ám ekkor f művelettartó tulajdonsága miatt a baloldal átírható az alábbi módon:

Azaz ebben az esetben h kifejezhető f(g) egész kitevős hatványaként.

Ha n negatív, akkor vezessük be a k=-n jelölést. Ilyenkor tehát k pozitív, és f(g^{-k})=h a 24.9. Definíció alapján így írható fel:

Az f művelet- valamint inverzképzéstartó (lásd a 25.2. Lemma 2. pontját) tulajdonsága miatt a baloldal átírható az alábbi módon:

Azaz h ebben az esetben is kifejezhető f(g) egész kitevős hatványaként.

Végül ha n=0, akkor a 24.9. Definíció alapján g^n épp a G csoport egységeleme. Mivel a 25.2. Lemma 1. pontja alapján egységelem képe egységelem, ezért ebben az esetben h szükségképpen a H csoport egységeleme, amely nyilván kifejezhető f(g)-nek a nulladik hatványaként.

A H csoport tehát valóban ciklikus, melynek generátoreleme f(g).

Megjegyzés:

Figyelem, a tétel megfordítása nem igaz! Triviális ellenpéldaként tekintsünk egy olyan f:G\to H csoporthomomorfizmust, amely egy nem ciklikus G csoport elemeit egy olyan H csoportba képzi, amelynek mindössze egyetlen eleme van, méghozzá az egységelem. Ekkor a mindössze egyetlen elemből álló H csoport nyilvánvalóan ciklikus, ám G – mint említettük – nem az.

25.22. Tétel (Ciklikus csoportok struktúratétele):

Egy G csoport akkor és csak akkor ciklikus, ha izomorf a \Z^+ vagy valamilyen m\geq 0 nemnegatív egész szám esetén a (\Z/m\Z)^+ csoporttal.

Bizonyítás:

A 25.20. Tétel alapján a \Z^+ illetve a (\Z/m\Z)^+ csoportok ciklikusak. Ezért ha G izomorf valamelyikükkel, akkor a 25.21. Lemma alapján G is ciklikus, hiszen a csoportizomorfizmus a 25.1. Definíció alapján egy szürjektív homomorfizmus.

Megfordítva: Tegyük fel, hogy G ciklikus, és legyen g egy generátorelem. Ekkor G minden eleme felírható g egész kitevős hatványaként.

1. eset – g rendje (lásd a 24.11. Definíciót) végtelen: Tekintsük azt az f:\Z^+\to G függvényt, amely minden n egész számhoz hozzárendeli a g^n elemet. Mivel a 24.12. Tétel alapján g bármely két hatványa különbözik, ezért ez a függvény injektív lesz, hiszen különböző egész számok képe különböző G-beli elem lesz. Továbbá, mivel G minden eleme felírható g egész kitevős hatványaként, ezért f egyben szürjektív is. Így már csak a művelettartó tulajdonságot kell igazolni. Ez viszont az egész kitevős hatványozás azonosságaiból (24.10. Tétel 3. pontja) következik:

Azaz G ebben az esetben izomorf a \Z^+ csoporttal.

2. eset – g rendje véges: Legyen g rendje m, és tekintsük azt az f:(\Z/m\Z)^+\to G függvényt, amely minden [n]_m maradékosztályhoz hozzárendeli a g^n elemet. Tekintsünk két tetszőleges maradékosztályt, legyenek ezek például [n]_m és [k]_m, és tegyük fel, hogy teljesülnek az alábbiak:

Az f függvény definíciója alapján ez az egyenlet így írható fel:

Ám mivel g rendje véges, ezért a 24.12. Tétel 1. pontja alapján ekkor teljesül az alábbi kongruencia:

Ez viszont azt jelenti, hogy n és k ugyanazt a modulo m maradékosztályt reprezentálják, azaz:

Vagyis különböző maradékosztályok képei nem lehetnek azonosak, így az f függvény injektív. Továbbá, mivel G minden eleme felírható g egész kitevős hatványaként, és bármely egész szám reprezentál valamilyen modulo m maradékosztályt, ezért f egyben szürjektív is. Így már csak a művelettartó tulajdonságot kell igazolni. Ez viszont ismét az egész kitevős hatványozás azonosságaiból (24.10. Tétel 3. pontja), továbbá a maradékosztályok közötti összeadás műveletének definíciójából (20.5. Tétel) következik:

Azaz G ebben az esetben izomorf a (\Z/m\Z)^+ csoporttal.