Mivel (a,b) közös osztó, ezért teljesülnek az alábbi oszthatóságok:

\begin{aligned}(a,b)&|a \\ (a,b)&|b \end{aligned}

A második oszthatóság jobboldala a 16.2. Tétel 7. pontja miatt tetszőleges k elemmel megszorozható:

(a,b)|kb

Az (a,b) tehát osztója a-nak és kb-nek, így ugyanezen tétel 6. pontja miatt osztója a különbségüknek is:

(a,b)|a-kb

Azt kaptuk, hogy az (a,b) elem a-n és b-n kívül közös osztója b-nek és a-kb-nek is. Már csak azt kell megmutatni, hogy ennek az elempárnak szintén kitüntetett közös osztója, azaz bármely más közös osztónak többszöröse. Tegyük fel például, hogy d egy ilyen közös osztó, azaz:

\begin{aligned}d&|b \\ d&|a-kb \end{aligned}

Az első oszthatóság jobboldalát a 16.2. Tétel 7. pontja miatt k-val megszorozhatjuk:

d|kb

A d elem tehát osztója a-kb-nek és kb-nek, így ugyanezen tétel 6. pontja miatt osztója az összegüknek is:

d|a-\cancel{kb}+\cancel{kb}

Azt kaptuk tehát, hogy d közös osztója a-nak és b-nek, emiatt osztója az ő kitüntetett közös osztójuknak, azaz (a,b)-nek is. Igenám, de fentebb már láttuk, hogy (a,b) nem csak az a és b elemek közös osztója, hanem a b és a-kb elemeknek is. Így ő végülis ezeknek az elemeknek is kitüntetett közös osztója, azaz valóban:

(a,b)=(b,a-kb)