A bizonyítás konstruktív lesz, azaz az f euklidészi norma segítségével definiálni fogunk egy olyan g függvényt, amely maga is euklidészi norma, de ezen felül teljesíti a tételben szereplő egyenlőtlenségi tulajdonságot is.

Tegyük fel, hogy valamilyen tetszőleges k elemre szeretnénk kiszámítani a g(k) függvényértéket. Ehhez először képezzük a k elem összes nemnulla többszörösének az f norma szerinti értékét, azaz minden R-beli x\neq 0 elemre kiszámítjuk az f(kx) természetes számokat. Ezután válasszuk g(k) értékének ezek közül a legkisebbet, amely ugye a 17.14. Tétel miatt biztosan létezik. Más szavakkal a g(k) függvényérték legyen az eredeti f normának a k elem nemnulla többszörösein felvett minimuma.

A g függvény fenti definíciója alapján tehát a tételben szereplő a és b\neq 0_R elemek esetén létezik olyan c\neq 0_R elem, amelyre g(ab)=f(abc) teljesül (nevezetesen épp az a c elem, amelyre az f(abc) felveszi a minimumát). Mivel ugyanakkor az abc szorzat az ab elemen kívül az a elemnek is egy nemnulla többszöröse, ezért ismét a g függvény fenti definíciója miatt g(a)\leq f(abc), azaz valóban teljesül a tételben szereplő egyenlőtlenség:

g(a)\leq \underbrace{g(ab)}_{=f(abc)}

Már csak annyit kell igazolni, hogy g is euklidészi norma R-ben. Legyen b\neq 0_R egy tetszőleges nemnulla R-beli elem, valamint válasszuk ki b-nek egy olyan nemnulla többszörösét, amelyre az eredeti f norma épp a minimumát veszi fel (ez ugye biztosan létezik, mint azt már láttuk fentebb). Azaz válasszunk ki egy olyan c\neq 0_R elemet, amelyre g(b)=f(bc) teljesül.

Minthogy b\neq 0_R és c\neq 0_R ezért a nullosztómentesség miatt bc\neq 0_R. Azaz tetszőleges a elem maradékosan elosztható a bc elemmel az eredeti f norma szerint. Ez azt jelenti, hogy létezik olyan k hányados és r maradék, amelyekre teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned}a&=k\cdot (bc) + r \\ f(r)&\lt f(bc)\end{aligned}

Egyrészt a g függvény definíciója miatt g(r)\leq f(r\cdot 1) = f(r). Másrészt viszont a c elemet épp úgy választottuk ki, hogy f(bc)=g(b) teljesüljön. Létezik tehát olyan hányados (nevezetesen kc) és maradék (nevezetesen r), amelyre teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned}a&=(kc)\cdot b + r \\ \underbrace{g(r)}_{\leq f(r)}&\lt \underbrace{g(b)}_{=f(bc)}\end{aligned}

Azaz tetszőleges a elem tetszőleges b\neq 0_R elemmel elosztható maradékosan a g függvény szerint is, így g valóban egy euklidészi norma.