Tekintsük ugyanis egy felbontható x elem két tetszőleges felbontását:

x=p_1\cdot p_2\cdot \ldots \cdot p_n = q_1\cdot q_2\cdot \ldots \cdot q_k

Azt kell bizonyítani, hogy a kétféle felbontásban ugyanannyi felbonthatatlan tényező van, és minden baloldali tényezőnek van egy asszociált párja a jobboldali felbontásban. Kezdjük p_1-gyel.

Mivel jelen esetben minden felbonthatatlan prímtulajdonságú, ezért p_1 is az, amely ugye a fenti egyenlet alapján osztója a jobboldali q_1\cdot \ldots \cdot q_k szorzatnak. A prímtulajdonság miatt ekkor osztója e szorzat legalább egy tényezőjének is. Az általánosság megsértése nélkül feltételezhetjük, hogy ez a tényező q_1. Ha mégsem ez lenne a helyzet, akkor a megfelelő módon átsorszámozzuk a jobboldali tényezőket.

Teljesül tehát a p_1|q_1 oszthatóság, de mivel q_1 felbonthatatlan, ezért ez a 16.11. Definíció alapján csak úgy teljesülhet, ha q_1=p_1\cdot e_1, ahol e_1 valamilyen egység. Az egység létezéséből a 16.4. Tétel miatt következik, hogy a gyűrű egységelemes. Ekkor azonban alkalmazható a 16.10. Tétel, amely szerint p_1 és q_1 egymás asszociáltjai – azaz megtaláltuk p_1 asszociált párját a jobboldalon. Az egyenletünk – amelyet a nullosztómentesség miatt egyszerűsíthetjük p_1-gyel – most így néz ki:

\cancel{p_1}\cdot p_2\cdot \ldots \cdot p_n = \underbrace{\cancel{p_1}\cdot e_1}_{=q_1}\cdot q_2\cdot \ldots \cdot q_k

Ezután p_2-vel folytatjuk ugyanezt az eljárást, majd p_3-mal, stb. Az előbb látott gondolatmenet alapján mindegyikhez megtaláljuk az asszociált párját a jobboldalon. Amikor az utolsó baloldali tényezővel is megtörtént az egyszerűsítés, akkor az egyenlet baloldalán az egységelem marad, a jobboldalon pedig az egyszerűsítések során előálló n darab egységtényező. Kérdés, hogy ezeken az egységeken kívül marad-e még további tényező a jobboldalon? Például:

1=e_1\cdot e_2\cdot \ldots \cdot e_n\cdot \underbrace{q_{n+1}\cdot q_{n+2} \cdot \ldots \cdot q_k}_{?}

Ha ez így lenne, akkor az azt jelentené, hogy a q_{n+1}, q_{n+2}, …, q_k tényezők mindegyike osztója lenne az egységelemnek, tehát végsősoron ők mind egységek lennének (a 16.5. Tétel értelmében). Ez viszont lehetetlen, hiszen ezek a tényezők felbonthatatlanok, és így a 16.11. Definíció szerint nem lehetnek egységek.

Ezért az egyszerűsítési eljárás során a baloldali és a jobboldali tényezők egyszerre fogynak el, és eközben mindegyik baloldali tényezőhöz megtaláljuk az ő asszociált párját a jobboldalon. Az x elem két felbontása tehát sorrendtől és asszociáltságtól eltekintve valóban megegyezik.