A 19.8. Tétel alapján egy halmazrendszerben legfeljebb egy legszűkebb elem létezhet. Így elegendő megmutatni, hogy létezik legszűkebb elem, az ugyanis garantáltan az egyetlen legszűkebb elem lesz.

Mivel X az R gyűrű tetszőleges részhalmaza lehet, ezért előszöris kérdés, hogy létezik-e egyáltalán olyan részgyűrű, amely tartalmazza X-et? Erre természetesen igen a válasz, hiszen „legrosszabb esetben” maga a teljes R egy ilyen részgyűrű. Az \mathcal{X} halmazrendszer tehát biztosan nem üres.

Most képezzük az \mathcal{X} halmazrendszer összes elemének metszetét, és jelöljük ezt a halmazt S-sel. Minthogy \mathcal{X} elemei részgyűrűk R-ben, így a 19.9. Tétel alapján S is részgyűrű R-ben. Továbbá az X-ről azt mondtuk, hogy ő részhalmaza minden \mathcal{X}-beli részgyűrűnek, emiatt részhalmaza ezek metszetének, azaz S-nek is.

Ez viszont azt jelenti, hogy S maga is az \mathcal{X} halmazrendszer eleme, hiszen ő is egy X-et tartalmazó részgyűrű R-ben. Ráadásul mivel ő a metszete \mathcal{X} összes elemének, ezért egyben részhalmaza is azoknak. Másként fogalmazva bármilyen T\in \mathcal{X} részgyűrűre teljesül, hogy S\sube T. Ez a 19.7. Definíció szerint viszont épp azt jelenti, hogy S nem más, mint az \mathcal{X} halmazrendszer legszűkebb eleme. Más szavakkal S a legszűkebb olyan részgyűrű R-ben, amely tartalmazza az X részhalmazt, azaz a tételbeli jelölést használva S=\lang X\rang.

A legszűkebb X-et tartalmazó bal-, jobb-, illetve kétoldali ideál létezésére és egyértelműségére vonatkozó állítás a fentiekhez teljesen hasonló módon igazolható.