Tekintsük azt az f gyűrűhomomorfizmust, amelynek képe T. Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen X gyűrű elemein van értelmezve, amelynek nullelemét jelöljük most 0_X-szel, míg az S gyűrű nullelemét jelöljük 0_S-sel. Azt kell megmutatnunk, hogy T-re teljesülnek a 18.15. Tételben felsorolt feltételek.

A 18.11. Lemma 1. pontja alapján f(0_X)=0_S, így tehát az S gyűrű nulleleme valóban benne van T-ben.

Ha valamilyen a és b elemek benne vannak T-ben, akkor léteznek olyan x_a és x_b elemek X-ben, amelyeknek épp ő a képük, azaz f(x_a)=a és f(x_b)=b. A két egyenletet összeadva és összeszorozva, valamint kihasználva f művelettartó tulajdonságait az alábbiakat kapjuk:

\begin{aligned}f(x_a)+f(x_b)&=f(x_a+x_b)=a+b \\ f(x_a)\cdot f(x_b)&=f(x_a\cdot x_b)=a\cdot b\end{aligned}

Léteznek tehát olyan elemek X-ben, amelyeknek a+b és a\cdot b a képei (nevezetesen x_a+x_b és x_a\cdot x_b), emiatt az a+b összeg és az a\cdot b szorzat is benne van T-ben, ami így valóban zárt az összeadásra és szorzásra nézve.

Végül ha valamilyen a elem benne van T-ben, akkor létezik olyan x_a elem X-ben, amelynek épp a a képe, azaz f(x_a)=a. A 18.11. Lemma 2. pontja alapján azonban f tartja az ellentettképzést is, így teljesül az alábbi:

f(-x_a)=-f(x_a)=-a

Létezik tehát olyan elem X-ben, amelynek -a a képe (nevezetesen -x_a), emiatt -a is benne van T-ben, ami így zárt az ellentettképzésre nézve is. Minthogy a 18.15. Tételben felsorolt minden feltétel teljesül, ezért T valóban részgyűrű S-ben.

Visszafelé: Tegyük most fel, hogy T részgyűrű S-ben. Azt kell megmutatnunk, hogy van olyan S-be mutató gyűrűhomomorfizmus, amelynek képe T. Tekintsük például azt az f:T\to S függvényt, amely T minden eleméhez önmagát rendeli hozzá. Ez kétségkívül nem egy izgalmas függvény, viszont nyilvánvalóan gyűrűhomomorfizmus, aminek a képe ráadásul épp a T halmaz.