Az áttekinthetőség kedvéért most az összeadást a +, az ellentettképzést és a kivonást pedig a - szimbólummal fogjuk jelölni mindhárom gyűrű esetén. Mindig gondoljuk azonban végig, hogy az adott kifejezésben szereplő műveleti jelek éppen melyik gyűrűre vonatkoznak. Ezzel szemben a nullelemek között továbbra is jelölésbeli különbségeket fogunk tenni. Ez alapján az R gyűrű nullelemét 0_R, az S gyűrű nullelemét 0_S, a T gyűrű nullelemét pedig 0_T fogja jelölni.

Először is tegyük fel, hogy \ker f=\ker g, azaz a két gyűrűhomomorfizmus magja megegyezik. Az a\equiv b\pod f reláció a 18.12. Definíció utánis megjegyzés alapján pontosan azt jelenti, hogy az a-b különbség benne van az f gyűrűhomomorfizmus magjában.

Mivel azonban azt mondtuk, hogy \ker f=\ker g – azaz f és g magjának ugyanazok az elemei –, így az a-b különbség benne van a g gyűrűhomomorfizmus magjában is. Ez viszont ismét a 18.12. Definíció utánis megjegyzés alapján pontosan azt jelenti, hogy teljesül az a\equiv b\pod g kongruencia.

Amennyiben tehát \ker f=\ker g, akkor a két gyűrűhomomorfizmus szerinti kongruencia egyszerre teljesül vagy nem teljesül, azaz teljesen ekvivalens egymással.

Visszafelé: Tegyük most fel, hogy a két kongruencia egymással ekvivalens. A fentiekhez hasonló lépéseket alkalmazva egyrészt azt fogjuk kapni, hogy az a\equiv b\pod f kongruencia pontosan akkor teljesül, ha az a-b különbség benne van az f magjában. Ehhez hasonlóan az a\equiv b\pod g kongruencia pontosan akkor teljesül, ha az a-b benne van a g magjában. Ha tehát a két kongruencia ekvivalens egymással, akkor az a-b különbség pontosan akkor van benne f magjában, amikor benne van g magjában is. Ez ugye tetszőleges a és b elempárra teljesül, így speciálisan azokban az esetekben is, amikor b=0_R. Ez viszont azt jelenti, hogy tetszőleges a=a-0_R pontosan akkor van benne f magjában, amikor g magjában is benne van. A \ker f és \ker g halmazoknak tehát pontosan ugyanazok az elemei, azaz a két halmaz valóban megegyezik.