Igazoljuk először az 1. állítást. Mivel 0 a gyűrű nulleleme, ezért a 2. gyűrűaxióma miatt 0+0=0, és így a disztributivitási szabály miatt:

0a = (\underbrace{0+0}_{=0})a = 0a+0a

Mindkét oldalhoz hozzáadva 0a ellentettjét (amely ugye a 3. gyűrűaxióma miatt létezik) a tétel 1. állítását kapjuk:

0 = 0a

A 0=a0 azonosság ugyanilyen módon igazolható, csak ekkor a másik oldali disztributivitási szabályt kell alkalmazni.

A 2. állítás baloldalán -(-a) szerepel, amely nem más, mint -a ellentettje. Ezért a 3. gyűrűaxióma miatt kettejük összege épp a nullelem kell legyen:

-(-a)+(-a)=0

Mindkét oldalhoz hozzáadva a-t a következőt kapjuk:

-(-a)+\underbrace{0}_{=(-a)+a}=0+a

A keletkező 0-kat mindkét oldalról elhagyhatjuk a 2. gyűrűaxióma miatt, megkapva így a tétel 2. állítását:

-(-a)=a

Most a 3. állítást igazoljuk. Az 1. állítás miatt 0=0b, de mivel 0 a gyűrű nulleleme, ezért a 3. gyűrűaxióma miatt -a+a=0, és így a disztributivitási szabály miatt:

0=0b=(\underbrace{-a+a}_{=0})b=(-a)b + ab

Mivel ab-hez (-a)b-t adva épp a nullelemet kapjuk, ezért (-a)b valóban ab ellentettje. Ez viszont a 14.10. Tétel miatt egyértelmű, így tehát:

(-a)b = -(ab)

Az a(-b)=-(ab) azonosság ugyanilyen módon igazolható, csak ekkor a másik oldali disztributivitási szabályt kell alkalmazni.

A 4. állítás könnyen adódik az előző 3 állításból. Az 1. állítás miatt 0=0(-b), de mivel 0 a gyűrű nulleleme, ezért a 3. gyűrűaxióma miatt -a+a=0, és így a disztributivitási szabály miatt:

0=0(-b)=(\underbrace{-a+a}_{=0})(-b)=(-a)(-b) + a(-b)

A 3. állítás miatt a fenti egyenlet jobboldalán lévő második tag -(ab)-vel egyenlő, azaz:

0=(-a)(-b) + \underbrace{(-(ab))}_{=a(-b)}

Mivel (-a)(-b)-hez -(ab)-t adva épp a nullelemet kapjuk, ezért (-a)(-b) valóban -(ab) ellentettje. Ez viszont a 14.10. Tétel miatt egyértelmű, így tehát:

(-a)(-b) = -(-(ab))

Az egyenlet jobboldalát viszont a 2. állítás miatt átírhatjuk a következőképpen, megkapva a tétel 4. állítását:

(-a)(-b) = \overbrace{ab}^{=-(-(ab))}

Végül az 5. állításhoz azt kell belátnunk, hogy az (a+b) ellentettje – azaz a -(a+b) elem – valóban megegyezik a (-a)+(-b) elemmel. A 14.10. Tétel miatt az ellentettképzés asszociatív művelet esetén egyértelmű, így ez pontosan akkor teljesül, ha:

(a+b)+((-a)+(-b))=0

Az 1. gyűrűaxióma alapján ez a kifejezés tetszőlegesen átzárójelezhető (asszociatív) és átsorrendezhető (kommutatív), így felírható így is:

\underbrace{(a+(-a))}_{=0}+\underbrace{(b+(-b))}_{=0}=0+0=0

Így tehát (a+b) ellentettje – azaz a -(a+b) elem – tényleg megegyezik a (-a)+(-b) elemmel, ahogyan a tétel állítja.