Az 1. tulajdonság: Ez nyilvánvalóan következik az üres halmaz és az univerzális halmaz definíciójából. Az üres halmaznak ugyanis nincs egyetlen eleme sem, így a vele végzett unióképzés nem ad hozzá elemeket semmilyen halmazhoz. Ehhez hasonlóan az univerzális halmaznak minden objektum az eleme, így a vele végzett metszetképzés nem vesz el elemeket semmilyen halmazból.

A 2. tulajdonság: Ez is teljesen nyilvánvalóan adódik az unió- és a metszetképzés 19.3. Definíciójából.

A 3. tulajdonság: Ha a\in A vagy a\in B közül legalább az egyik teljesül, akkor ez nyilván nem változik a két feltétel megcserélésével sem. Így tehát az A\cup B halmaz pontosan meg fog egyezni a B\cup A halmazzal. Ugyanez a gondolatmenet a metszetképzéssel is végigjátszható.

A 4. tulajdonság: Az unióképzésre vonatkozó asszociativitás mindkét oldalán az a halmaz szerepel, amelynek minden a elemére a\in A, a\in B vagy a\in C közül legalább az egyik teljesül, hiszen teljesen mindegy, hogy ezt a 3 feltételt milyen sorrendben ellenőrizzük le. A metszetképzésre vonatkozó asszociativitásra ugyanez a gondolatmenet végigjátszható.

Az 5. tulajdonság: Csak az első disztributivitási szabályt fogjuk igazolni, a másik nagyon hasonló gondolatmenettel igazolható. Tegyük fel, hogy egy x objektum benne van a disztributivitási szabály baloldalán lévő halmazban, azaz az A\cup (B\cap C) unióhalmazban. Itt az unió miatt két eset lehetséges. Első esetben x\in A, és ekkor nyilván x\in A\cup B és x\in A\cup C is teljesül, tehát x\in (A\cup B)\cap (A\cup C) is. Második esetben x\notin A, de ekkor viszont az unió miatt x\in B\cap C, tehát x\in B és x\in C egyszerre teljesül. Ilyenkor megintcsak teljesülnek az x\in A\cup B és x\in A\cup C relációk, azaz x\in (A\cup B)\cap (A\cup C) is. Mindkét esetben azt kaptuk, hogyha x eleme a disztributivitási szabály baloldalának, akkor eleme a jobboldalának is, tehát a baloldal részhalmaza a jobboldalnak.

Most tegyük fel, hogy x benne van a disztributivitási szabály jobboldalán lévő halmazban, azaz az (A\cup B)\cap (A\cup C) metszethalmazban. Itt a metszet miatt tehát x\in A\cup B és x\in A\cup C is teljesül. Ez két ok miatt teljesülhet. Egyrészt, ha x\in A, akkor jók vagyunk, mert ekkor x benne van minkét unióban, és így ezek metszetében is. Ha x\notin A, akkor viszont x\in B és x\in C kell teljesüljön, ami azt jelenti, hogy x\in B\cap C. Azt kaptuk, hogy x\in A vagy x\in B\cap C közül legalább az egyik teljesül, azaz x\in A\cup (B\cap C) is. Ha tehát x eleme a disztributivitási szabály jobboldalának, akkor eleme a baloldalnak is, tehát a jobboldal is részhalmaza a baloldalnak.

Minthogy a szabály két oldalán álló halmazokról megmutattuk, hogy kölcsönösen részhalmazai egymásnak, ezért a 19.2. Definíció utáni 5. megjegyzés alapján szükségképpen megegyeznek. A másik disztributivitási szabály ugyanilyen módon igazolható.

A 6. tulajdonság: Nézzük először az A\cup (A\cap B) kifejezést. Mivel a metszetképzés 19.3. Definíciója miatt bármilyen x objektum esetén ha x\in A\cap B, akkor x\in A, ezért ez egyben azt is jelenti, hogy a zárójelben lévő metszet részhalmaza A-nak (lásd a 19.2. Definíciót). A fenti kifejezésben tehát tulajdonképpen az A halmaznak egy X részhalmazával vett uniója szerepel. Az A\cup X unió viszont nyilvánvalóan A-val egyezik meg, mivel X-nek nincs olyan eleme, ami ne lenne magának A-nak is eleme (hiszen azt mondtuk, hogy X\sube A). Valóban igaz tehát, hogy A\cup (A\cap B)=A, azaz teljesül az unióképzésre vonatkozó elnyelési tulajdonság. A metszetképzésre vonatkozó elnyelési tulajdonság a disztributivitásból és az idempotenciából következik:

A\cap (A\cup B)=(\underbrace{A\cap A}_{=A})\cup (A\cap B)=A\cup (A\cap B)=A

A 7. tulajdonság: Az üres halmaz komplementere az U\setminus \empty különbséghalmaz, amely a 19.3. Definíció alapján azokat az elemeket tartalmazza, amelyek benne vannak U-ban, de nincsenek benne az üreshalmazban. Tekintve, hogy az üres halmazban egyáltalán nincsenek elemek, ezért ez a különbséghalmaz magával U-val egyezik meg. Ehhez hasonlóan az univerzális halmaz komplementere az U\setminus U különbséghalmaz, amely tehát azokat az elemeket tartalmazza, amelyek benne is vannak és nincsenek is benne U-ban. Ilyen elem létezése nyilvánvaló ellentmondás lenne, ezért ez a különbséghalmaz csak az üres halmaz lehet.

A 8. tulajdonság: Az \overline{A} komplementerhalmaz azokat az elemeket tartalmazza, amelyekre nem igaz az, hogy elemei A-nak. Ennek a komplementere pedig azokat, amelyekre nem igaz az, hogy nem elemei A-nak. Ezek viszont a dupla tagadás miatt épp A elemei, azaz valóban \overline{\overline{A}}=A.

A 9. tulajdonság: Az A halmaz és komplementerének úniója azokat az x elemeket tartalmazza, amelyekre x\in A vagy x\notin A közül legalább az egyik teljesül. Ez viszont minden létező x igaz, hiszen valami vagy benne van egy halmazban, vagy nincs. Így tehát valóban A\cup \overline{A}=U. Ehhez hasonlóan az A halmaz és komplementerének metszete az üres halmaz, máskülönben létezne olyan x, amelyre x\in A és x\notin A egyszerre teljesülne, ami nyilvánvaló ellentmondás. Így tehát valóban A\cap \overline{A}=\empty.

Végül a 10. tulajdonság: Az A\cup B komplementerébe azok az x elemek tartoznak, amelyekre nem igaz az, hogy x\in A vagy x\in B közül legalább az egyik teljesül. Másként fogalmazva ezek az elemek sem A-ban, sem pedig B-ben nincsenek benne, azaz ezekre x\notin A és x\notin B egyszerre teljesül. Ez viszont épp A és B komplementerhalmazainak a metszete. Ehhez hasonlóan az A\cap B komplementerébe azok az x elemek tartoznak, amelyekre nem igaz az, hogy x\in A és x\in B egyszerre teljesül. Másként fogalmazva ezek az elemek A és B közül legalább az egyikben nincsenek benne, azaz ezekre x\notin A vagy x\notin B közül legalább az egyik teljesül. Ez viszont épp A és B komplementerhalmazainak az uniója.