Tegyük fel, hogy A és B is legszűkebb elem \mathcal{H}-ban. Mivel A legszűkebb elem, ezért ő tetszőleges halmaznak részhalmaza, többek között például B-nek is, azaz A\sube B. Másrészt, mivel B is legszűkebb elem, ezért ő is részhalmaza tetszőleges halmaznak, többek között például A-nak is, azaz B\sube A. Így tehát A és B kölcsönösen részhalmazai egymásnak, vagyis a 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja miatt megegyeznek, azaz A=B. Egy halmazrendszer legszűkebb eleme tehát – amennyiben egyáltalán létezik – egyértelmű. Ugyanilyen gondolatmenettel belátható, hogy egy halmazrendszer legbővebb eleme is egyértelmű.

Tegyük fel most indirekt, hogy A a \mathcal{H} halmazrendszer legszűkebb eleme, azonban mégsem minimális. Ez egyrészt azt jelentené, hogy létezik olyan X halmaz \mathcal{H}-ban, amelyre X\sub A teljesül. Másrészt, mivel A a legszűkebb \mathcal{H}-ban, ezért A\sube X-nek is teljesülnie kéne. De X\sub A és A\sube X egyszerre nem teljesülhet, hiszen ekkor X\sub A alapján létezne olyan a, amely eleme A-nak, de nem eleme X-nek, ugyanakkor A\sube X miatt mindenképpen eleme kéne legyen X-nek. Egy halmazrendszer legszűkebb eleme tehát – amennyiben egyáltalán létezik – mindenképpen minimális. Ugyanilyen gondolatmenettel belátható egy halmazrendszer legbővebb eleméről, hogy – amennyiben egyáltalán létezik – mindenképpen maximális.

Végül tegyük fel, hogy A a \mathcal{H} halmazrendszer legszűkebb eleme, amely tehát minimális, de létezik egy másik minimális elem is, amelyet jelöljünk most B-vel. Mivel A a legszűkebb elem, ezért A\sube B teljesül. Ugyanakkor, mivel B minimális, ezért nem állhat fenn az A\sub B szigorú tartalmazás. Ez a 19.2. Definíció alapján A\sube B mellett csak A=B esetén lehetséges. Tehát valóban A az egyetlen minimális elem. Ugyanilyen gondolatmenettel belátható, hogy amennyiben A a legbővebb elem \mathcal{H}-ban, akkor egyúttal ő az egyetlen maximális elem.