A bizonyításban a 14.12. Definíció szerinti gyűrűaxiómákra fogunk hivatkozni.

Az 1. tulajdonság: Az (a\cdot b)^n hatvány egy olyan n tényezős szorzat, amelynek minden tényezője (a\cdot b). A 4. gyűrűaxióma alapján a szorzás asszociatív, valamint – mivel kommutatív gyűrűről van szó – kommutatív is, ezért ezt a szorzatot tetszőlegesen átrendezhetjük és átzárójelezhetjük. Így az a és b tényezőket csoportosítva két n tényezős szorzathoz jutunk. Az elsőnek minden tényezője a, a másodiknak pedig b:

\begin{aligned}(a\cdot b)^n&=\overbrace{(ab)\cdot (ab)\cdot \ldots \cdot (ab)}^{\text{n darab}}=\\&=(\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{\text{n darab}})\cdot(\underbrace{b\cdot b\cdot \ldots \cdot b}_{\text{n darab}})=a^n\cdot b^n\end{aligned}

A 2. tulajdonság: Az (a^n)^k egy olyan k tényezős szorzat, amelynek minden tényezője a^n. Ezen tényezők mindegyike viszont egy-egy olyan n tényezős szorzat, amelynek minden tényezője a. A 4. gyűrűaxióma alapján a szorzás asszociatív, ezért ez tulajdonképpen egy olyan n\cdot k tényezős szorzatként is felfogható, amelynek minden tényezője a.

A 3. tulajdonság: Az a^n és a^k szorzatoknak rendre n és k darab tényezője van. A 4. gyűrűaxióma alapján a szorzás asszociatív, ezért az ő szorzatuk tulajdonképpen felfogható egy olyan nagy szorzatként, amelyben ezen tényezők száma összeadódik. Azaz az a^n\cdot a^k szorzatnak n+k darab tényezője lesz.