Az első két kongruencia a 18.20. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy az a_1-a_2 és a b_1-b_2 különbségek benne vannak I-ben. Minthogy I részgyűrű R-ben (hiszen ideál), ezért e két különbség összege, azaz (a_1+b_1)-(a_2+b_2) szintén I-ben van, és így valóban teljesül az a_1+b_1\equiv a_2+b_2\pod I kongruencia.

A szorzatra vonatkozó a_1b_1\equiv a_2b_2\pod I kongruencia viszont akkor teljesülne, ha a_1b_1-a_2b_2 is benne lenne I-ben, így most ezt fogjuk ellenőrizni. E kifejezés értéke nem változik, ha kivonunk belőle a_1b_2-t, majd hozzá is adjuk. Ezt felírva, és a_1-et, valamint b_2-t kiemelve ezt kapjuk:

Nézzük meg a jobboldali kifejezés két tagját. Az első tag ugye az a_1\cdot (b_1-b_2) szorzat. A b_1-b_2 tényezőről tudjuk, hogy benne van I-ben. De mivel I ideál, így egyben balideál is, ezért az ő elemeit balról megszorozva bármilyen R-beli elemmel (például a_1-gyel) az eredmény szintén I-beli lesz (lásd a 18.18. Definíciót). Ugyanezen okok miatt – mivel I jobbideál is – a fenti összeg másik tagja, azaz az (a_1-a_2)\cdot b_2 szorzat is benne van I-ben. Így e két tag összege, azaz lényegében a_1b_1-a_2b_2 szintén benne van I-ben – hiszen I részgyűrű, azaz zárt az összeadásra –, tehát valóban teljesül az a_1b_1\equiv a_2b_2\pod I kongruencia is.