Nézzük először a részgyűrűk metszetére vonatkozó állítást! Jelöljük S-sel az \mathcal{S} halmazrendszerben lévő részgyűrűk metszetét. Azt kell megmutatni, hogy S részgyűrű R-ben. Ez a 18.15. Tétel szerint pontosan akkor teljesül, ha S zárt az R-beli összeadásra, szorzásra és ellentettképzésre, valamint tartalmazza az R gyűrű nullelemét.

Mivel \mathcal{S} minden eleme részgyűrű, így a 18.15. Tétel miatt mindegyik tartalmazza az R gyűrű nullelemét. A nullelem tehát valóban benne van ezek metszetében, azaz S-ben.

Legyen most x az S halmaz egy tetszőleges eleme. Mivel S az \mathcal{S}-beli részgyűrűk metszete, így x e részgyűrűk mindegyikének szintén eleme, amelyek viszont ismét a 18.15. Tétel miatt zártak az ellentettképzésre. Így -x is eleme az összes \mathcal{S}-beli részgyűrűnek, vagyis valóban benne van ezek metszetében, azaz S-ben.

Végül legyen x és y az S halmaz két tetszőleges eleme. Mivel S az \mathcal{S}-beli részgyűrűk metszete, így x és y e részgyűrűk mindegyikének szintén eleme, amelyek viszont ismét a 18.15. Tétel miatt zártak az összeadásra és szorzásra. Így az x+y összeg, valamint az x\cdot y szorzat is eleme az összes \mathcal{S}-beli részgyűrűnek, vagyis valóban benne vannak ezek metszetében, azaz S-ben. Az S tehát valóban részgyűrű R-ben, ahogyan a tétel állítja.

Most nézzük a balideálok metszetére vonatkozó állítást! Jelöljük I-vel az \mathcal{I} halmazrendszerben lévő balideálok metszetét. Azt kell megmutatni, hogy I balideál R-ben. Ez a 18.18. Definíció szerint azt jelenti, hogy egyrészt I részgyűrű R-ben, másrészt akármelyik a\in I elemet balról megszorozva akármelyik r\in R elemmel, az így kapott r\cdot a szorzat szintén benne van I-ben. Minthogy \mathcal{I} minden eleme részgyűrű R-ben (hiszen balideál), ezért a fentiek alapján I is részgyűrű R-ben. Elegendő tehát csak a baloldali szorzásra vonatkozó feltételt ellenőrizni.

Tegyük fel, hogy a az I részgyűrű, r pedig az R gyűrű egy tetszőleges eleme. Mivel I az \mathcal{I}-beli balideálok metszete, így a e balideálok mindegyikének szintén eleme. Emiatt az r\cdot a szorzat is benne van az összes \mathcal{I}-beli balideálban, tehát ezek metszetében is, azaz I-ben. Emiatt I valóban balideál R-ben.

A jobbideálok metszetére vonatkozó állítás értelemszerűen ugyanezzel a gondolatmenettel igazolható azzal a különbséggel, hogy ekkor az r\cdot a szorzat helyett az a\cdot r szorzatot kell tekinteni.

Végül a (kétoldali) ideálok metszetére vonatkozó állítás triviálisan adódik, hiszen minden (kétoldali) ideál egyszerre bal- és jobbideál.