Nézzük először a részgyűrűk uniójára vonatkozó állítást! Jelöljük S-sel az \mathcal{S} halmazrendszerben lévő részgyűrűk unióját. Azt kell megmutatni, hogy S részgyűrű R-ben. Ez a 18.15. Tétel szerint pontosan akkor teljesül, ha S zárt az R-beli összeadásra, szorzásra és ellentettképzésre, valamint tartalmazza az R gyűrű nullelemét.
Mivel \mathcal{S} minden eleme részgyűrű, így a 18.15. Tétel miatt mindegyik tartalmazza az R gyűrű nullelemét. A nullelem tehát valóban benne van ezek uniójában, azaz S-ben.
Legyen most x az S halmaz egy tetszőleges eleme. Mivel S az \mathcal{S}-beli részgyűrűk uniója, így ezek között biztosan létezik olyan X részgyűrű, amelynek x szintén eleme. Az X viszont ismét a 18.15. Tétel miatt zárt az ellentettképzésre. Így -x is eleme X-nek, és emiatt S-nek is.
Végül legyen x és y az S halmaz két tetszőleges eleme. Mivel S az \mathcal{S}-beli részgyűrűk uniója, így ezek között biztosan léteznek olyan X és Y részgyűrűk, hogy x\in X és y\in Y teljesül. Mivel az \mathcal{S} halmazrendszerben bármely két részgyűrű között legalább az egyik irányban fennáll a tartalmazási reláció, ezért X\sube Y vagy Y\sube X közül legalább az egyik teljesül.
Ha például X\sube Y a helyzet, akkor x\in X miatt x\in Y is teljesül, azaz x és y mindketten benne vannak a Y-ban. De ekkor az összegük és a szorzatuk is benne van Y-ban – mivel Y részgyűrű –, és így S-ben is.
Ha X\sube Y nem teljesül, akkor teljesül Y\sube X, és ekkor a fentivel megegyező gondolatmenet alapján x és y összege és szorzata X-ben lesz benne, és így megintcsak S-ben is. Az S unióhalmaz tehát valóban részgyűrű R-ben, ahogyan a tétel állítja.
Most nézzük a balideálok uniójára vonatkozó állítást! Jelöljük I-vel az \mathcal{I} halmazrendszerben lévő balideálok unióját. Azt kell megmutatni, hogy I balideál R-ben. Ez a 18.18. Definíció szerint azt jelenti, hogy egyrészt I részgyűrű R-ben, másrészt akármelyik a\in I elemet balról megszorozva akármelyik r\in R elemmel, az így kapott r\cdot a szorzat szintén benne van I-ben. Minthogy \mathcal{I} minden eleme részgyűrű R-ben (hiszen balideál), ezért a fentiek alapján I is részgyűrű R-ben. Elegendő tehát csak a baloldali szorzásra vonatkozó feltételt ellenőrizni.
Tegyük fel, hogy a az I részgyűrű, r pedig az R gyűrű egy tetszőleges eleme. Mivel I az \mathcal{I}-beli balideálok uniója, így e balideálok között biztosan létezik olyan X balideál, amelynek a szintén eleme. Minthogy X balideál, emiatt az r\cdot a szorzat is benne van X-ben, és így I-ben is. Emiatt I valóban balideál R-ben.
A jobbideálok uniójára vonatkozó állítás értelemszerűen ugyanezzel a gondolatmenettel igazolható azzal a különbséggel, hogy ekkor az r\cdot a szorzat helyett az a\cdot r szorzatot kell tekinteni.
Végül a (kétoldali) ideálok uniójára vonatkozó állítás triviálisan adódik, hiszen minden (kétoldali) ideál egyszerre bal- és jobbideál.