A tétel bizonyításához az alábbi két állítást kell igazolni:

1. Az X maradékosztály valóban az (A;B)\in \Z/p\Z\times \Z/q\Z maradékosztálypár metszete, azaz X=A\cap B.
2. Nincs másik olyan maradékosztálypár a \Z/p\Z\times \Z/q\Z halmazban, amelynek X a metszete lenne.

Az 1. állítás: A 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján X és A\cap B akkor és csak akkor egyezik meg, ha egymásnak részhalmazai, azaz teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned}X&\sube A\cap B \\ A\cap B &\sube X\end{aligned}

Az X\sube A\cap B tartalmazási reláció a 19.2. Definíció alapján azt jelenti, hogy az X=[s]_{pq} maradékosztály minden eleme egyúttal az A=[s]_p-nek is és B=[s]_q-nak is eleme.

Legyen például t\in X egy tetszőleges elem az X=[s]_{pq} maradékosztályban. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy t ugyanúgy az X maradékosztályt reprezentálja, mint s. Azaz [s]_{pq}=[t]_{pq}, ami ugye az alábbi kongruenciát jelenti:

s\equiv t\pmod{pq}

Mivel azonban a p|pq és q|pq oszthatóságok nyilvánvalóan teljesülnek, ezért a 20.2. Tétel 9. pontja miatt teljesülnek az alábbi kongruenciák is:

\begin{aligned}s&\equiv t\pmod p \\ s&\equiv t\pmod q\end{aligned}

Tehát t benne van az A=[s]_p és B=[s]_q maradékosztályokban, azaz valóban teljesül az X\sube A\cap B tartalmazási reláció.

Most az A\cap B\sube X tartalmazási relációt igazoljuk. Ez a 19.2. Definíció alapján azt jelenti, hogy az A=[s]_p és B=[s]_q maradékosztályok közös elemei egyúttal az X=[s]_{pq} maradékosztálynak is elemei.

Legyen például t\in A\cap B egy tetszőleges elem az A=[s]_p és B=[s]_q maradékosztályok metszetében. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy t ugyanúgy benne van mind az A, mind pedig a B maradékosztályokban, mint s.

Az A=[s]_p maradékosztályba pontosan azok az egész számok tartoznak bele, amelyeket az alábbi kongruenciába az x ismeretlen helyére behelyettesítve a kongruencia teljesül:

x\equiv s\pmod p

Ehhez hasonlóan a B=[s]_q maradékosztályba pontosan azok az egész számok tartoznak bele, amelyeket az alábbi kongruenciába az x ismeretlen helyére behelyettesítve a kongruencia teljesül:

x\equiv s\pmod q

A fentebb említett t tehát s-sel karöltve kielégíti az iménti két kongruenciából álló rendszert. Ám a kínai maradéktétel (22.2. Tétel) állítása szerint minden ilyen tulajdonságú egész szám ugyanabba az egyetlen modulo pq maradékosztályba esik. Az nyilvánvaló, hogy s\in X, hiszen a tétel szövege alapján ő épp az X maradékosztály reprezentánseleme. Következésképp t is szükségképpen X-ben van, azaz valóban teljesül az A\cap B\sube X tartalmazási reláció.

Mivel mindkét irányú tartalmazási reláció teljesül X és A\cap B között, ezért a két halmaz az 1. állításnak megfelelően megegyezik.

A 2. állítás: Tegyük fel indirekt, hogy létezik egy (A;B)-től különböző (C;D) maradékosztálypár a \Z/p\Z\times \Z/q\Z halmazban, amelynek X a metszete, azaz:

C\cap D=X

Tegyük fel továbbá, hogy a C maradékosztályt a c egész számmal, míg a D maradékosztályt a d egész számmal reprezentáljuk, azaz:

\begin{aligned}C&=[c]_p \\ D&=[d]_q\end{aligned}

Legyen t egy tetszőleges elem az X=[s]_{pq} maradékosztályban. Egyrészt a fentebb egyszer már leírt gondolatmenetet megismételve ez az alábbi kongruenciákat jelenti:

\begin{aligned}s&\equiv t\pmod p \\ s&\equiv t\pmod q\end{aligned}

Másrészt viszont az indirekt feltételezésünk miatt X a C=[c]_p és D=[d]_q maradékosztályok metszete. Emiatt t ugyanúgy benne van a C=[c]_p maradékosztályban, mint c, valamint ugyanúgy benne van a D=[d]_q maradékosztályban, mint d. Teljesülnek tehát az alábbi kongruenciák:

\begin{aligned}t&\equiv c\pmod p \\ t&\equiv d\pmod q\end{aligned}

A kongruencia tranzitivitása miatt (20.2. Tétel 3. pontja) teljesülnek tehát az alábbi kongruenciák is:

\begin{aligned}s&\equiv c\pmod p \\ s&\equiv d\pmod q\end{aligned}

Azaz egyrészt az s által reprezentált modulo p maradékosztály (ez ugye az A halmaz) megegyezik a c által reprezentált modulo p maradékosztállyal (ez pedig ugye a C halmaz). Másrészt az s által reprezentált modulo q maradékosztály (ez ugye a B halmaz) megegyezik a d által reprezentált modulo q maradékosztállyal (ez pedig ugye a D halmaz).

Minthogy A=C és B=D, ezért indirekt feltételezésünkkel ellentétben az (A;B) maradékosztálypár mégiscsak megegyezik a (C;D) maradékosztálypárral. Azaz a 2. állításnak megfelelően az (A;B) páron kívül nincs másik olyan maradékosztálypár a \Z/p\Z\times \Z/q\Z halmazban, amelynek X a metszete lenne.