Tegyük fel, hogy p tetszőleges prím, és tekintsük ennek valamilyen felbontását:

p=a\cdot b

Azt kell bizonyítani, hogy a és b közül az egyik szükségképpen egység kell legyen. A p=ab felbontásból egyrészt következik, hogy teljesülnek az a|p és b|p oszthatóságok.

Másrészt, mivel a gyűrű egységelemes, ezért a 16.2. Tétel 1. pontja miatt minden elem osztója önmagának. Így p=ab-ből következik, hogy teljesül a p|ab oszthatóság is. Ám p prímtulajdonsága miatt ekkor a p|a és p|b oszthatóságok közül legalább az egyik teljesül.

Tegyük fel, hogy p|a teljesül. A bizonyítás elején ugyanakkor megállapítottuk, hogy a|p is teljesül. A 16.9. Tétel miatt az egymással való oszthatóságból következik, hogy a és p egymás asszociáltjai, amiből a 16.12. Tétel alapján az következik, hogy b szükségképpen egység.

Ha p|a mégsem teljesül, akkor p prímtulajdonsága miatt p|b biztosan teljesül. Ebben az esetben az előbbi gondolatmenetet szinte szóról szóra megismételve azt fogjuk kapni, hogy a egység.

Igaz tehát, hogy bármely prímnek bármilyen felbontásában az egyik tényező mindenképpen egység. Azaz valóban minden prím felbonthatatlan.