Ha N normálosztó, akkor az a 25.6. Definíció alapján azt jelenti, hogy az N szerinti bal- és jobboldali mellékosztályok megegyeznek. Ez az említett definíció utáni megjegyzés alapján az elemek szintjén azt jelenti, hogy tetszőleges g\in G és n\in N esetén létezik olyan m_1\in N és m_2\in N, hogy teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned}g\cdot n&=m_1\cdot g \\ n\cdot g&=g\cdot m_2\end{aligned}

Az első egyenletet jobbról, a másodikat pedig balról szorozva g^{-1}-gyel az alábbiakat kapjuk:

\begin{aligned}g\cdot n\cdot g^{-1}&=m_1 \\ g^{-1}\cdot n\cdot g&=m_2\end{aligned}

Vagyis a gng^{-1} és a g^{-1}ng szorzatok valóban benne vannak N-ben, hiszen előbbi m_1-gyel, utóbbi pedig m_2-vel egyezik meg.

Megfordítva: Tegyük fel, hogy minden g\in G és n\in N esetén a gng^{-1} szorzat benne van N-ben. Ez természetesen g inverzére is igaz, azaz g^{-1}n(g^{-1})^{-1}=g^{-1}ng is benne van N-ben. Léteznek tehát olyan m_1 és m_2 elemek N-ben, hogy teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned}g\cdot n\cdot g^{-1}&=m_1 \\ g^{-1}\cdot n\cdot g&=m_2\end{aligned}

Az első egyenletet jobbról, a másodikat pedig balról szorozva g-vel az alábbiakat kapjuk:

\begin{aligned}g\cdot n&=m_1\cdot g \\ n\cdot g&=g\cdot m_2\end{aligned}

Ez a 25.6. Definíció utáni megjegyzés alapján épp azt jelenti, hogy az N szerinti bal- és jobboldali mellékosztályok megegyeznek, azaz N valóban normálosztó.