Legyen 0_R az R gyűrű nulleleme, továbbá vezessük be az alábbi jelöléseket:

\begin{aligned}\deg(f)&=n \\ \deg(g)&=m\end{aligned}

Ennek megfelelően f és g az alábbi sorozatokkal reprezentálhatók:

\begin{aligned}f&=(a_0,a_1,\ldots,\overbrace{a_n}^{\neq 0_R}, 0_R, 0_R, \ldots) \\ g&=(b_0,b_1,\ldots,\underbrace{b_m}_{\neq 0_R}, 0_R, 0_R, \ldots)\end{aligned}

Az 1. állítás: Mivel n=\deg(f)\gt \deg(g)=m, vagyis az n index nagyobb g fokánál, emiatt b_n=0_R, tehát az összegpolinom n-edik tagja a_n+b_n=a_n. Az n index viszont megegyezik f fokával, így ez az n-edik tag biztosan nem 0_R. Az összegpolinom további tagjai viszont már mind nullák, mivel az n-nél nagyobb indexek nagyobbak f és g fokánál is. Ez a 26.3. Definíció alapján azt jelenti, hogy \deg(f+g)=n=\deg(f).

A 2. állítás: Az továbbra is igaz, hogy az n-nél nagyobb indexek nagyobbak f és g fokánál is, így az ilyen indexű tagok biztosan nullák mindkét polinomban, ami természetesen az összegükre is igaz, azaz \deg(f+g) legfeljebb akkora lehet, mint f (vagy g) foka. Ennél többet viszont nem is mondhatunk, mivel attól még, hogy sem a_n sem pedig b_n nemnulla, az összegük még lehet az – történetesen ha épp egymás ellentettjei az R gyűrűben.

A 3. állítás: Az f\cdot g szorzatpolinom együtthatóira vezessük be az alábbi jelölést:

f\cdot g=(c_0,c_1,c_2,\ldots)

Azt kell bizonyítani, hogy ennek a szorzatpolinomnak a \deg(f)+\deg(g)=n+m-nél nagyobb indexű tagjai mind nullák (hiszen ekkor lesz a szorzatpolinom foka legfeljebb n+m). Legyen ezért k egy tetszőleges ilyen index (azaz k\geq n+m+1), és mutassuk meg, hogy ekkor c_k=0_R. A 26.3. Definíció alapján a c_k együttható olyan a_ib_j szorzatok összegéből áll, ahol i+j=k. Igaz tehát a következő:

\underbrace{i+j}_{=k}\geq n+m+1

Ha i\leq n, akkor ez a 15.18. Definíció alapján azt jelenti, hogy létezik olyan nemnegatív l\geq 0 egész szám, hogy i+l=n. Ezt behelyettesítve a fenti egyenlőtlenségbe az alábbit kapjuk:

i+j\geq \underbrace{i+l}_{=n}+m+1

Mindkét oldalból i-t levonhatunk:

j\geq l+m+1

Mivel l+1 pozitív – hiszen l legalább 0 –, ezért ez az egyenlőtlenség ugyancsak a 15.18. Definíció alapján azt jelenti, hogy j\gt m. Ám ekkor az a_ib_j szorzatban a b_j tényező nulla, mivel m a g polinom foka. Ha viszont i\gt n, akkor meg az a_i tényező nulla, mivel n viszont az f polinom foka. Azt kaptuk tehát, hogy a szorzatpolinom c_k tagját előállító képletben minden tag nulla, vagyis maga c_k is.

Végül a 4. és 5. állítás: Az előző ponthoz hasonló gondolatmenetet fogunk követni. Azt a 3. állításban már megmutattuk, hogy a szorzatpolinomban az n+m-nél nagyobb indexű tagok mind nullák. Legyen most k=n+m, és mutassuk meg, hogy ekkor viszont c_k\neq 0_R. A c_k együttható olyan a_ib_j szorzatok összegéből áll, ahol i+j=k. Igaz tehát a következő:

\underbrace{i+j}_{=k}=n+m

Ha i\lt n, akkor ez a 15.18. Definíció alapján azt jelenti, hogy létezik olyan pozitív l\gt 0 egész szám, hogy i+l=n. Ezt behelyettesítve a fenti egyenletbe az alábbit kapjuk:

i+j=\underbrace{i+l}_{=n}+m

Mindkét oldalból i-t levonhatunk:

j=l+m

Létezik tehát olyan pozitív egész szám, amelyet m-hez adva j-t kapunk (nevezetesen l), ami azt jelenti, hogy j\gt m. Ám ekkor az a_ib_j szorzatban a b_j tényező nulla, mivel m a g polinom foka. Ha viszont i\gt n, akkor meg az a_i tényező nulla, mivel n viszont az f polinom foka.

Egyedül i=n esetben lesz nemnulla az a_ib_j szorzat, hiszen ekkor j=m, és sem a_n, sem pedig b_m nem lehet nulla, mivel az f polinom foka n, a g polinom foka pedig m. De a tételben szereplő feltételek esetén az ő szorzatuk sem lehet nulla: ha R egységelemes és a_n vagy b_m az egységelem, akkor azért, ha pedig R nullosztómentes, akkor pedig azért. Vagyis c_k=a_nb_m\neq 0_R. Ez viszont azt jelenti, hogy az f\cdot g szorzatpolinom foka épp k=n+m=\deg(f)+\deg(g).