Jelöljük az R gyűrű összeadását a +, míg az S gyűrű összeadását a \oplus szimbólummal.

Az 1. állítás: Mivel egyrészt 0_R az R gyűrű nulleleme, valamint f tartja az összeadást, ezért az R gyűrű tetszőleges a elemére felírható az alábbi:

f(a)=f(a+0_R)=f(a)\oplus f(0_R)

Másrészt, mivel 0_S az S gyűrű nulleleme, ezért f(a)=f(a)\oplus 0_S is igaz. Ezt az előző egyenlettel összevetve az alábbit kapjuk:

\underbrace{f(a)\oplus f(0_R)}_{=f(a)}=f(a)\oplus 0_S

Ha mindkét oldalhoz hozzáadjuk az f(a) elem S-beli ellentettjét, akkor megkapjuk a tétel 1. állítását:

f(0_R)=0_S

A 2. állítás: Legyen a az R gyűrű valamely tetszőleges eleme, amelynek R-beli ellentettjét jelöljük -a-val. Ekkor az 1. állítás miatt:

f(a+(-a))=f(0_R)=0_S

Másrészt viszont f tartja az összeadást, így igaz az alábbi is:

f(a+(-a))=f(a)\oplus f(-a)

A két egyenletet egymással összevetve ezt kapjuk:

f(a)\oplus f(-a)=0_S

Mivel f(a) és f(-a) összege épp az S gyűrű nulleleme, valamint az ellentettképzés a 14.10. Tétel alapján egyértelmű, ezért f(-a) valóban az f(a) elem S-beli ellentettjével egyezik meg. Azaz f(-a)=\ominus f(a), ahogyan a tétel állítja.