A 11.1. Definícióban szereplő 3. axióma lényegében kimondja, hogy legalább egy természetes szám létezik, nevezetesen a 0. Felfedeztük tehát az első természetes számot.

Az 1. axióma szerint minden természetes számnak – így nyilván a 0-nak is – létezik rákövetkezője. Jelölje most a 0 rákövetkezőjét s(0). Ez a 0-tól különböző kell legyen, hiszen a 0 szintén a 3. axióma miatt semmilyen természetes számnak sem rákövetkezője – így saját magának sem –, vagyis 0\neq s(0). Felfedeztünk tehát a második természetes számot, nevezetesen az s(0)-t. A tétel bizonyításához azt kell belátni, hogy ezeket az újabb és újabb felfedezéseket vég nélkül folytathatjuk.

Tegyük fel most, hogy a legutóbb felfedezett természetes szám az x. Az 1. axióma miatt minden természetes számnak – így nyilván x-nek is – létezik rákövetkezője, jelöljük ezt s(x)-szel. Ez minden eddig felfedezett természetes számtól különböző kell legyen. A 0-tól a 3. axióma miatt különbözik, amely kimondja, hogy a 0 semmilyen természetes számnak nem lehet rákövetkezője – és így x-nek sem.

De s(x)-nek különböznie kell az összes többi, már felfedezett számtól is, hiszen azokhoz korábban már eljutottunk a 0-ból kiindulva a rákövetkezést követve. Márpedig ha korábban már eljutottunk hozzájuk, akkor a 2. axióma miatt x-ből már nem juthatunk vissza egyikhez sem. Így tehát s(x) egy újabb felfedezett természetes szám. Ugyanezzel a gondolatmenettel újabb és újabb természetes számokat fedezhetünk fel, amelyek mind különbözőek lesznek az addig már felfedezettektől.

Másként fogalmazva a természetes számok \N halmazának végtelen sok eleme van.