Tegyük fel, hogy nem igaz az állítás, azaz valamilyen c\neq 0 mellett léteznek olyan galád a és b természetes számok, amelyekre a\cdot c=b\cdot c teljesül, ugyanakkor a\neq b.

Ekkor a és b kisebb-nagyobb viszonyaira vonatkozóan a \leq reláció (12.13. Definíció) trichotómiája (12.20. Tétel) miatt két eset lehetséges: a\lt b vagy b\lt a.

Ha a\lt b, akkor ez a rendezési reláció 12.13. Definíciója miatt azt jelenti, hogy létezik olyan k\neq 0 természetes szám, hogy:

a+k=b

Ezt behelyettesítve az a\cdot c=b\cdot c egyenletbe a következőt kapjuk:

a\cdot c=(\underbrace{a+k}_{=b})\cdot c

A Peano-szorzás disztributivitása miatt (12.5. Tétel) az egyenlet jobboldalán lévő zárójel felbontható:

a\cdot c=a\cdot c + k\cdot c

Azt viszont tudjuk, hogy egyrészt k\neq 0, másrészt c\neq 0, ezért a 14.1. Lemma alapján a szorzatuk sem lehet 0.

a\cdot c=a\cdot c + \underbrace{k\cdot c}_{\neq 0}

Azaz a \lt reláció 12.13. Definíciója alapján lényegében ezt kaptuk:

a\cdot c \lt a\cdot c

Ez ugye lehetetlen, hiszen semmilyen természetes szám nem lehet kisebb önmagánál. A másik esetben – tehát amikor b\lt a – ugyanilyen módon juthatunk ellentmondásra. Ekkor azt fogjuk kapni, hogy b\cdot c \lt b\cdot c.

Mivel mindkét esetben ellentmondásra jutottunk, ezért csak az eredeti felételezésünk – miszerint a tétel állítása nem igaz – lehetett hibás.