Tekintsük elsőként az f_{r_1} gyöktényezőt. A 26.10. Tétel alapján f felírható az alábbi alakban valamilyen alkalmas q_1\in R[x] polinommal:

f=f_{r_1}\odot q_1

Mivel R egységelemes, továbbá az f_{r_1} gyöktényező főegyütthatója az egységelem – hiszen az ugye a 26.6. Definíció alapján megegyezik a hozzátartozó F_{r_1}(x)=x-r_1 polinomfüggvény elsőfokú tagjának, azaz x-nek az együtthatójával –, ezért a 26.4. Tétel 5. pontja alapján \deg(f)=\deg(f_{r_1})+\deg(q_1). Miután f_{r_1} egy gyöktényező, és így \deg(f_{r_1})=1, ezért a q_1 polinom foka eggyel kisebb f fokánál.

Továbbá a 26.10. Tétel alapján a polinomfüggvények szintjén az alábbi teljesül:

F(x)=(x-r_1)\cdot Q_1(x)

De ugye r_2 is gyöke az f polinomnak, ezért őt behelyettesítve ebbe a polinomfüggvénybe az R gyűrű nullelemét kell kapnunk:

0_R=F(r_2)=(r_2-r_1)\cdot Q_1(r_2)

A jobboldali első tényező biztosan nemnulla, ezért a nullosztómentesség miatt szükségképpen Q_1(r_2)=0_R, azaz r_2 gyöke a q_1 polinomnak. Ám ekkor a 26.10. Tétel alapján q_1-ből kiemelhető az f_{r_2} gyöktényező, azaz f felírható az alábbi alakban valamilyen alkalmas q_2\in R[x] polinommal, ahol q_2 foka a fentebb már ismertetett okok miatt már kettővel kisebb f fokánál:

f=f_{r_1}\odot f_{r_2}\odot q_2

Ugyanilyen gondolatmenet alapján f-ből kiemelhető mind a k darab gyöktényező, és a fennmaradó q polinom foka k-val kisebb f fokánál:

f=f_{r_1}\odot f_{r_2}\odot \ldots \odot f_{r_k}\odot q

Mivel a fokszám nullánál nem lehet kisebb, ezért k valóban legfeljebb f foka lehet.