Tegyük fel, hogy az F polinomfüggvény olyan, hogy tetszőleges x\in R gyűrűelemhez az alábbi kifejezés eredményét rendeli hozzá:

F(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0

Ennek értékét x=r esetén tehát az alábbi kifejezés kiértékelésével számíthatjuk ki:

F(r)=a_nr^n+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots+a_1r+a_0

Emeljük ki r-et minden olyan tagból, amelyikből lehet:

F(r)=(a_nr^{n-1}+a_{n-1}r^{n-2}+\ldots+a_2r+a_1)r+a_0

Ismételgessük ezt a képződő zárójelekre mindaddig, ameddig lehetséges:

\begin{aligned}F(r)&=((a_nr^{n-2}+a_{n-1}r^{n-3}+\ldots+a_3r+a_2)r+a_1)r+a_0=\\&=(((a_nr^{n-3}+a_{n-1}r^{n-4}+\ldots+a_4r+a_3)r+a_2)r+a_1)r+a_0=\\&\vdots\\&=((\ldots (a_nr+a_{n-1})r+a_{n-2})r+a_{n-3})r+\ldots +a_1)r+a_0\end{aligned}

Az így kapott n-1 darab egymásba ágyazott zárójelből álló kifejezést kezdjük el kiértékelni „bentről kifelé” haladva zárójelenként, és a kapott részeredményekre sorban vezessük be a q_{n-1}, q_{n-2}, …, q_0 jelöléseket az alábbi szisztéma szerint:

\begin{aligned}q_{n-1}&=a_n \\ q_{n-2}&=q_{n-1}r+a_{n-1} \\ q_{n-3}&=q_{n-2}r+a_{n-2} \\ &\vdots \\ q_i&=q_{i+1}r+a_{i+1} \\ &\vdots \\ q_1&=q_2r+a_2 \\ q_0&=q_1r+a_1\end{aligned}

Végül az utolsó lépést is elvégezve megkapjuk az F(r) értékét:

F(r)=q_0r+a_0

Vegyük észre, hogy az eljárással épp a keresett Q polinomfüggvény együtthatóit számítottuk ki. Ezt könnyen ellenőrizhetjük, ha felbontjuk az alábbi zárójelet:

(x-r)\cdot (\underbrace{q_{n-1}x^{n-1}+q_{n-2}x^{n-2}+\ldots+q_1x+q_0}_{=Q(x)})=\ldots

Itt a baloldali zárójelben lévő mindkét tagot a jobboldali zárójelben lévő minden taggal meg kell szorozni. E beszorzás után az alábbi tagokat kapjuk, amelyek egy hiányzó a_0 tagot és egy felesleges -q_0r tagot leszámítva épp az F(x) polinomfüggvény tagjaival egyeznek meg:

\begin{aligned}\ldots &=\underbrace{q_{n-1}}_{=a_n}x^n+\\&+\underbrace{(q_{n-2}-q_{n-1}r)}_{=a_{n-1}}x^{n-1}+\\&+\underbrace{(q_{n-3}-q_{n-2}r)}_{=a_{n-2}}x^{n-2}+\\ &\vdots \\&+\underbrace{(q_0-q_1r)}_{=a_1}x-q_0r\end{aligned}

Összefoglalva:

(x-r)\cdot Q(x)=F(x)-a_0-q_0r

Ha most mindkét oldalhoz hozzáadunk a_0+q_0r-t, akkor megkapjuk a tétel első állítását:

(x-r)\cdot Q(x)+\underbrace{a_0+q_0r}_{=F(r)}=F(x)

A második állításhoz tegyük fel először, hogy teljesül az f_r|f oszthatóság az R[x] polinomgyűrűben. A polinomok közötti szorzást \odot-tal jelölve ezt azt jelenti, hogy létezik olyan q\in R[x] polinom, hogy teljesül az alábbi:

f=f_r\odot q

A 26.9. Tétel alapján az f_r\odot q szorzatpolinomhoz tartozó polinomfüggvény az F_r és Q polinomfüggvények pontonkénti szorzata lesz. A polinomfüggvények szintjén tehát felírható az alábbi egyenlet:

F(x)=\underbrace{(x-r)}_{=F_r(x)}\cdot Q(x)

Ám ekkor az F(x) polinomfüggvény az R gyűrű nullelemét rendeli r-hez, hiszen ebben az esetben az F_r(r) tényező épp nulla lesz:

F(r)=\underbrace{(r-r)}_{=F_r(r)}\cdot Q(r)=0_R\cdot Q(r)=0_R

Vagyis ha fennáll az f_r|f oszthatóság az R[x] polinomgyűrűben, akkor r valóban gyöke f-nek az R gyűrűben.

Megfordítva: Tegyük most fel, hogy r gyöke az f polinomnak az R gyűrűben. A tétel első állítása alapján létezik olyan q\in R[x] polinom, hogy a polinomfüggvények szintjén teljesül az alábbi egyenlet:

F(x)=\underbrace{(x-r)}_{=F_r(x)}\cdot Q(x)+F(r)

Itt viszont a jobboldalon szereplő F(r) tag az R gyűrű nulleleme lesz, hiszen azt mondtuk, hogy r gyöke az f polinomnak. Azaz a fenti egyenlet az alábbira egyszerűsödik:

F(x)=F_r(x)\cdot Q(x)

Ez viszont a 26.9. Tétel alapján a polinomok szintjén az alábbit jelenti:

f=f_r\odot q

Vagyis valóban teljesül az f_r|f oszthatóság az R[x] polinomgyűrűben.