A továbbiakban reprezentáljuk az f és g polinomokat az alábbi végtelen sorozatokkal, ahol 0_R jelöli az R gyűrű nullelemét:

\begin{aligned}f&=(a_0,a_1,a_2,\ldots, a_n,0_R,0_R,0_R,\ldots) \\ g&=(b_0,b_1,b_2,\ldots, b_m,0_R,0_R,0_R,\ldots)\end{aligned}

A 26.3. Definíció szerint e két polinom összegének k-adik tagját az alábbi képletből kapjuk:

c_k=a_k+b_k

Szintén a 26.3. Definíció alapján a két polinom szorzatának k-adik tagját pedig az alábbi képlet szolgáltatja:

c_k=a_0b_k+a_1b_{k-1}+a_2b_{k-2}+\ldots+a_kb_0

Az általánosság megsértése nélkül feltételezhetjük, hogy m=n. Ha ugyanis például m\leq n lenne a helyzet, akkor a g polinom tagjait az m+1-edik indextől kezdve, ha pedig m\geq n, akkor meg az f polinom tagjait az n+1-edik indextől kezdve 0_R-nek választva érvényes marad az alábbi gondolatmenet.

Ezek fényében a két polinomhoz tartozó polinomfüggények a 26.6. Definíció alapján minden x\in R gyűrűelemhez az alábbi kifejezések eredményét rendelik hozzá:

\begin{aligned}F(x)&=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n \\ G(x)&=b_0+b_1x+b_2x^2+\ldots+b_nx^n\end{aligned}

E két polinomfüggvény pontonkénti összege a 26.8. Definíció értelmében az alábbi lesz (miután a tagok sorrendjét az x hatványai szerint sorbarendeztük és csoportosítottuk):

(F+G)(x)=(a_0+b_0) + (a_1+b_1)x + (a_2+b_2)x^2 + \ldots + (a_n+b_n)x^n

Látható, hogy itt tetszőleges k esetén az x^k tag együtthatója a_k+b_k alakban írható fel, vagyis ez a pontonkénti összegfüggvény a 26.6. Definíció értelmében valóban az f+g összegpolinomhoz tartozó polinomfüggvény lesz.

A két polinomfüggvény pontonkénti szorzatának kiszámításához az alábbi zárójeles kifejezést kell felbontani:

\begin{aligned}(F\cdot G)(x)=&(a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n)\cdot \\ \cdot &(b_0+b_1x+b_2x^2+\ldots+b_nx^n)\end{aligned}

Ha most minden tagot minden taggal megszorzunk, akkor tetszőleges k esetén az x^k tag együtthatója azoknak az a_ib_j szorzatoknak az összege lesz, ahol i+j=k, azaz:

a_0b_k+a_1b_{k-1}+a_2b_{k-2}+\ldots+a_kb_0

Vagyis ez a pontonkénti szorzatfüggvény a 26.6. Definíció értelmében valóban az f\cdot g szorzatpolinomhoz tartozó polinomfüggvény lesz.