Egyrészt az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy a\neq 1, ebben az esetben ugyanis a tétel nyilvánvalóan igaz. Továbbá azt is feltehetjük, hogy a\neq -1, mivel ebben az esetben a -1\equiv 1\pmod p feltétel alapján p csak 2 lehet, és ekkor a tétel ismét nyilvánvalóan igaz.

Másrészt az a egész szám biztosan nem osztható p-vel, hiszen a tétel szövegében szereplő a\equiv 1\pmod p kongruencia alapján 1-et ad maradékul p-vel osztva. Az 1 szintén nem osztható p-vel. Emiatt a 24.15. Definíció szerint a szorzatuk p-adikus rendje biztosan 0.

Harmadrészt az a\equiv 1\pmod p a 20.1. Tétel 3. pontja alapján azt is jelenti, hogy teljesül az alábbi oszthatóság:

p|a-1

Így ismételten a 24.15. Definíció szerint az a-1 különbség p-adikus rendje biztosan nem 0.

Összefoglalva tehát az a és az 1 egész számokra teljesül a 24.16. Lemma mindhárom feltétele, azaz:

\begin{aligned}a&\neq 1\\v_p(a\cdot 1)&=0\\v_p(a-1)&\neq 0\end{aligned}

Ekkor viszont ugye teljesül az alábbi összefüggés:

v_p(a^p-1^p)=v_p(a-1)+1

Ez tehát azt jelenti, hogy az a^p-1 különbség prímtényezős felbontásában 1-gyel többször szerepel p, mint az a-1 felbontásában. Következésképp, mivel ugye teljesül a p|a-1 oszthatóság, ezért szükségképpen teljesülnie kell a p^2|a^p-1 oszthatóságnak is, ami a 20.1. Tétel 3. pontja alapján az alábbi kongruenciát jelenti:

a^p\equiv 1\pmod{p^2}

Most ugyanezt a gondolatmenetet eljátszhatjuk az a^p és az 1 egész számokra is. Egyrészt mivel a\neq 1 és a\neq -1, ezért nyilván a^p\neq 1 is teljesül. Másrészt mivel a-ról tudjuk, hogy nem osztható p-vel, ezért nyilván a^p sem osztható p-vel, azaz v_p(a^p\cdot 1)=0. Harmadrészt mivel teljesül a p^2|a^p-1 oszthatóság, ezért nyilván v_p(a^p-1)\neq 0. Ám ekkor ismét a 24.16. Lemma alapján:

v_p((a^p)^p-1^p)=v_p(a^p-1)+1

Vagyis az (a^p)^p-1=a^{p^2}-1 különbség prímtényezős felbontásában 1-gyel többször szerepel p, mint az a^p-1 felbontásában. Következésképp, mivel ugye teljesül a p^2|a^p-1 oszthatóság, ezért szükségképpen teljesülnie kell a p^3|a^{p^2}-1 oszthatóságnak is, ami a 20.1. Tétel 3. pontja alapján az alábbi kongruenciát jelenti:

a^{p^2}\equiv 1\pmod{p^3}

A fenti gondolatmenetet akárhányszor megismételhetjük, melynek során a c-1-edik lépésben épp a tétel állítását kapjuk:

\begin{aligned}a^{p^3}&\equiv 1\pmod{p^4} \\ a^{p^4}&\equiv 1\pmod{p^5} \\ a^{p^5}&\equiv 1\pmod{p^6} \\ &\vdots \\ a^{p^{c-1}}&\equiv 1\pmod{p^c}\end{aligned}