Tegyük fel ugyanis, hogy teljesül a p|a oszthatóság. Ekkor – mivel a p|p^k oszthatóság nyilvánvalóan teljesül – p egy közös osztója lesz p^k-nak és a-nak. Mivel a tétel szövege szerint p prím – és így a 16.13. Definíció szerint nem egység –, az a és p^k számok valóban nem lehetnek egymáshoz relatív prímek. Másként fogalmazva ha a és p^k egymáshoz relatív prímek, akkor valóban nem teljesülhet a p|a oszthatóság.

Visszafelé: Ha a és p^k egymáshoz nem relatív prímek, akkor létezik olyan d közös osztó, amely nem egység, és amely esetén fennáll az alábbi két oszthatóság:

\begin{aligned}d&|a \\ d&|p^k\end{aligned}

Mivel p prím, ezért a második oszthatóság alapján d az alábbi számok közül kerülhet ki:

p,p^2,p^3,p^4,\ldots, p^{k-1}, p^k

Tegyük fel például, hogy d=p^i valamilyen 1\leq i\leq k kitevőre, azaz:

\begin{aligned}\overbrace{p^i}^{=d}&|a \\ \underbrace{p^i}_{=d}&|p^k\end{aligned}

Ám mivel a p|p^i oszthatóság nyilvánvalóan teljesül, ezért a 16.2. Tétel 5. pontja miatt valóban fennáll a p|a oszthatóság.