A 19.2. Definíció utáni megjegyzés 3. és 5. pontjai alapján a \sube reláció reflexív és antiszimmetrikus. Így már csak azt kell megmutatni, hogy teljesül a tranzitivitás is, azaz a halmazrendszer tetszőleges A, B és C elemei esetén ha A\sube B és B\sube C, akkor A\sube C. Ez viszont könnyedén adódik a részhalmaz 19.2. Definíciójából.

Legyen ugyanis x egy tetszőleges elem a H alaphalmazban. Mivel A\sube B, ezért ha x\in A teljesül, akkor x\in B is teljesül. Ugyanakkor B\sube C is igaz, ezért egyúttal x\in C is teljesül. Mivel azt kaptuk, hogy x\in A-ból következik x\in C, ezért valóban A\sube C.

Most térjünk át a \sub relációra vonatkozó állításokra. Ez nyilvánvalóan nem reflexív, ugyanis A\sub A a 19.2. Definíció alapján azt jelentené, hogy A\sube A és A\neq A. Ez utóbbi nyilván lehetetlen, mivel minden halmaz azonos önmagával. De antiszimmetrikus sem lehet, hiszen akkor a 12.9. Definíció miatt A\sub B és B\sub A esetén A=B következne. Ez ugye lehetetlen, mert például A\sub B azt jelenti, hogy A\sube B és A\neq B.

Végül megmutatjuk, hogy \sub tranzitív. Tegyük fel, hogy A\sub B és B\sub C. Ezek a feltételek a 19.2. Definíció alapján azt jelentik, hogy egyrészt A\sube B és B\sube C, másrészt pedig A\neq B és B\neq C. Az első két feltételből a \sube reláció tranzitivitása miatt A\sube C következik, tehát a \sub reláció tranzitivitásához elegendő azt megmutatni, hogy A\neq C. A B\sube C tartalmazás miatt egyrészt tudjuk, hogy B minden eleme C-nek is eleme. Másrészt B\neq C miatt azt is tudjuk, hogy C-nek van olyan x eleme, ami viszont nem eleme B-nek, azaz x\in B nem teljesül. Azt kell igazolni, hogy x\in A sem teljesül. Ez viszont nyilvánvaló, máskülönben A\sube B miatt x\in B mégiscsak teljesülne, ami ellentmondás. A \sub-val jelölt szigorú tartalmazási reláció tehát valóban tranzitív.