Mivel nem létezik egységelem, így a 16.4. Tétel értelmében egység sem létezik. Azaz ha van felbonthatatlan elem, akkor neki még – a 16.11. Definíció szerinti értelemben vett – triviális felbontása sem létezik. Azzal az esettel nem kell foglalkoznunk, hogy mi van akkor, ha egyáltalán nem létezik felbonthatatlan elem. Ebben az esetben ugyanis nem teljesülne a számelmélet alaptételének felbonthatóságról szóló része, hiszen ha nincs felbonthatatlan elem, akkor semmilyen elemet sem lehet felbontani ilyen nem létező elemek szorzatára.
Az általánosság megsértése nélkül feltételezhetjük tehát, hogy létezik felbonthatatlan elem. A következő kérdés, hogy vajon prímtulajdonságú elem létezik-e? Tegyük fel, hogy létezik, és nézzük meg, hogy ennek mik lennének a következményei. Legyen például p egy prímtulajdonságú elem. Ő nyilván osztója bármelyik többszörösének, azaz tetszőleges a\neq 0 gyűrűelemre fennáll a p|pa oszthatóság (meg nyilván a=0-ra is, ám ez az eset számunkra most nem annyira érdekes).
Ebből viszont p prímtulajdonsága miatt következik, hogy a p|p és p|a oszthatóságok közül legalább az egyik teljesül. Mivel nem létezik egységelem, ezért a 16.2. Tétel 2. pontja miatt a p|p oszthatóság lehetetlen, így szükségképpen teljesül p|a. Azaz létezik olyan a_1 elem, amelyre p\cdot a_1 = a. Tekintve, hogy nem létezik egység, így a_1 sem lehet az, vagyis az a elem biztosan nem felbonthatatlan.
De ha fennáll a p|\underbrace{p\cdot a_1}_{=a} oszthatóság, akkor a prímtulajdonságot kihasználva és az előző gondolatmenetet megismételve adódik, hogy fennáll a p|a_1 oszthatóság is. Azaz létezik olyan a_2 elem, amelyre teljesül, hogy p\cdot a_2=a_1, és mivel a_2 szintén nem egység, ezért a_1 sem felbonthatatlan.
Ezt az eljárást a végtelenségig folytathatjuk anélkül, hogy felbonthatatlan elembe ütköznénk. Az így kialakuló végtelen oszthatósági láncot mutatja az alábbi ábra:
Ha tehát feltételezzük, hogy létezik prímtulajdonságú elem, akkor ennek többszörösei biztosan nem bonthatók fel felbonthatatlanok szorzatára, azaz nem teljesül a számelmélet alaptételének felbonthatóságról szóló része.
Ha viszont azt feltételezzük, hogy nem létezik prím, akkor pedig a 16.16. Tételben megfogalmazott szükséges feltétel nem teljesül, hiszen egyetlen felbonthatatlan sem lehet prím, ha prímek nem is léteznek. Azaz ilyenkor a számelmélet alaptételének egyértelműségről szóló része nem fog teljesülni.
