Legyen p egy tetszőleges felbonthatatlan elem R-ben. Azt tudjuk, hogy p nem a nullelem (hiszen tetszőleges a esetén 0\cdot a egy nemtriviális felbontás), valamint a 16.11. Definíció miatt nem is egység. Azt kell megmutatni, hogy prímtulajdonságú, azaz hogy ha bármilyen r és s elemek esetén teljesül a p|rs oszthatóság, akkor a p|r vagy p|s oszthatóságok közül is legalább az egyik teljesül. A p|rs oszthatóság a 16.1. Definíció alapján azt jelenti, hogy létezik olyan t elem, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:

pt=rs

Nézzük először, mi lehet a helyzet a jobboldalon. Ha r (vagy s) a nullelem, akkor nyilván fennáll a p|r (vagy p|s) oszthatóság, így ebben az esetben nyilván teljesül a prímtulajdonság.

Az általánosság megsértése nélkül tehát feltehetjük, hogy r\neq 0 és s\neq 0, azaz rs\neq 0 (a nullosztómentesség miatt). Ez viszont azt jelenti, hogy az egyenlet baloldalán álló pt sem lehet nulla, és így alkalmazható a 16.12. Tétel. Nevezetesen: ha r és s közül valamelyik egység, akkor a másik pt asszociáltja, azaz szintén osztható p-vel. Így ebben az esetben is teljesül a prímtulajdonság.

A speciális esetekből még azt kell megvizsgálni, amikor t egység (nullelem ugye nem lehet, hiszen azt mondtuk, hogy pt\neq 0). A 16.4. Tétel miatt ilyenkor a gyűrű egységelemes, alkalmazható tehát a 16.10. Tétel. Ez alapján a jobboldalon álló rs asszociáltja p-nek, hiszen egységszerese. De mivel p felbonthatatlan, ezért r és s közül az egyik p-nek asszociáltja, és így osztható vele (hiszen egységelemes gyűrűről van szó). A prímtulajdonság tehát ebben az esetben is teljesül.

A fennmaradó esetekben az r, s és t elemeket felírhatjuk felbonthatatlan elemek szorzataként, hiszen R-ben teljesül a számelmélet alaptétele. Így a fenti egyenletből ezt kapjuk:

p\cdot \underbrace{t_1\cdot t_2 \cdot \ldots \cdot t_k}_{=t} = \underbrace{r_1\cdot r_2 \cdot \ldots \cdot r_n}_{=r} \cdot \underbrace{s_1\cdot s_2 \cdot \ldots \cdot s_m}_{=s}

A számelmélet alaptétele ugyanakkor azt is kimondja, hogy a felbontás asszociáltságtól és a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. Ebből következik, hogy a baloldalon álló felbonthatatlan elemek mindegyikének kell legyen egy asszociált párja a jobboldalon, így p-nek is. Ha ez az r=r_1\cdot \ldots \cdot r_n szorzat valamelyik tényezője, akkor teljesül a p|r oszthatóság. Ha pedig az s=s_1\cdot \ldots \cdot s_m szorzat valamelyik tényezője, akkor pedig teljesül a p|s oszthatóság.

Minden esetben azt kapjuk, hogy p valóban prímtulajdonságú, ahogy a tétel állítja.