Ha a\leq b, akkor létezik olyan k elem az \N_1 halmazban, amelyre a+k=b. Mivel a 13.13. Tétel miatt az f függvény tartja a Peano-összeadást, ezért f(a+k)= f(a)\oplus f(k) = f(b). Tekintve, hogy az \N_1 halmaz minden elemének f szerinti képe a 13.10. Definíció értelmében pozitív vagy 0 a \Z halmazon belül (tehát természetes szám), így nyilván f(k) is az. Azaz a 15.18. Definíció értelmében f(a)\lesssim f(b).

Megfordítva: ha f(a)\lesssim f(b), akkor létezik olyan c természetes szám a \Z halmazon belül, amelyre f(a)\oplus c=f(b). Mivel c természetes szám, ezért csak pozitív vagy 0 lehet. Emiatt létezik az \N_1 halmazban olyan n elem, amelynek épp ő az f szerinti képe, azaz amelyre f(n)=c, és így f(a)\oplus f(n)=f(b). De mivel az f függvény tartja a Peano-összeadást, ezért f(a+n)=f(b) is teljesül. Tekintve, hogy az f függvény minden \Z-beli elemet legfeljebb egy \N_1-beli elemhez rendel hozzá, ezért ebből a+n=b következik. Ez viszont a 12.13. Definíció értelmében épp azt jelenti, hogy a\leq b.