Az a\leq b reláció a 12.13. Definíció miatt azt jelenti, hogy létezik olyan k természetes szám, amelyre teljesül az alábbi:

a+k=b

Az egyenlet mindkét oldalához c-t hozzáadva, illetve mindkét oldalt c-vel megszorozva ezeket kapjuk:

\begin{aligned}(a+k)+c &= b+c \\ (a+k)c &= bc\end{aligned}

A két egyenlet baloldalai a Peano-összeadás asszociativitása (11.8. Tétel) és kommutativitása (11.7. Tétel), valamint a Peano-szorzás disztributivitása (12.5. Tétel) miatt így írhatók:

\begin{aligned}(a+c)+k &= b+c \\ ac+kc &= bc\end{aligned}

Egyrészt létezik tehát olyan természetes szám (nevezetesen k), amelyet a+c-hez adva b+c-t kapunk. Másrészt pedig létezik olyan természetes szám is (nevezetesen kc), amelyet ac-hez adva bc-t kapunk. Ez a 12.13. Definíció alapján éppen azt jelenti, hogy:

\begin{aligned}a+c &\leq b+c \\ ac &\leq bc\end{aligned}